Familia de Mapas del Panadero Como Ambiente Caótico de la ...

Apéndice A
Implementación del Panadero con
ángulos de Floquet
El mapa del panadero cuántico convencional en un espacio de Hilbert de dimensión N = 2 n ,
consiste básicamente en dos transformadas de Fourier discretas (una en un espacio de dimensión
N = 2 n y otra de N
2 = 2n−1 ). Como se ve en el capítulo de la familia del panadero, los otros
miembros son reducibles a swaps y panaderos convencionales en espacios más pequeños.
Si aplicamos el mapa del panadero en forma matricial, se necesitan del orden de N 4 = 2 4n
operaciones. El mejor de los algoritmos clásicos para la implementación de la transformada de
Fourier, FFT (Fast Fourier Transforms), requiere del orden de ∝ N log(N) ∝ 2 n n de operaciones.
Esto quiere decir que en el mejor de los casos, los recursos necesarios escalean exponencialmente
con el número de qubits.
Podemos descomponer al mapa del panadero en coordenadas, de manera tal que utilice transformadas
de Fourier de la mitad del espacio como máximo. Por otro lado, también queremos
dejar expresado el mapa del panadero con ángulos de Floquet en función de transformadas de
Fourier sin esos ángulos, con el fin de aplicar FFT’s.
Si llamamos a N ′ = N
2 , podemos representar a la antitransformada de Fourier de la siguiente
manera:
† χpχq
〈n|F 2N ′ |k〉 = 1 i2π
√ exp(
2N ′ 2N ′ )(n + χq)(k + χp) (A.1)
con n, k = 0, 1, . . . , 2N ′ − 1.
Separamos de n su bit menos significativo, y de k su bit más significativo:
podemos escribir a el exponente de (A.1) como
(n + χq)(k + χp)
2N ′
n = n1 + 2n2, k = k2 + N ′ k1 (A.2)
0 ≤ n1, k1 ≤ 1, 0 ≤ n2, k2 ≤ N ′ − 1 (A.3)
= (n1 + χq)(k2 + χp)
2N ′
donde el segundo término se anula.
+ n2k1 + (n1 + χq)k1
2
+ n2(k2 + χp)
N ′
Entonces podemos representar a la antitransformada de Fourier gráficamente como:
72
(A.4)