Familia de Mapas del Panadero Como Ambiente Caótico de la ...

CAPÍTULO 3. MAPA DEL PANADERO 33
El efecto del “estiramiento” y la “discontinuidad” del corte es lo que produce que este
mapa tenga comportamiento caótico. Debido a que se estira y se contrae el mismo factor en las
direcciones p y q, el mapa hiperbólico preserva área.
Los valores de p > 1
de q < 1
2 .
2
luego de aplicar el mapa provienen de la región de q > 1
2
y los de p < 1
2
La acción de este mapa también puede ilustrarse fácilmente a través de una dinámica simbólica
conocida como corrimiento de Bernoulli. Esta consiste en escribir los valores de q, p ∈ [0; 1)
en notación binaria:
q = 0.ɛ0ɛ1ɛ2ɛ3 . . . p = 0.ɛ−1ɛ−2ɛ−3ɛ−4 . . . (3.12)
De esta manera se puede representar a un punto en el espacio de fases como:
(p, q) = . . . ɛ−4ɛ−3ɛ−2ɛ−1.ɛ0ɛ1ɛ2ɛ3 . . . (3.13)
La acción del mapa en esta notación es equivalente a mover el punto un decimal hacia la
derecha, produciendo que el bit más significativo en q pase a ser el más significativo en p.
q ′ = 0.ɛ1ɛ2ɛ3 . . . p ′ = 0.ɛ0ɛ−1ɛ−2ɛ−3 . . . (3.14)
(p, q) = . . . ɛ−2ɛ−1.ɛ0ɛ1ɛ2 . . . −→ (p ′ , q ′ ) . . . ɛ−2ɛ−1ɛ0.ɛ1ɛ2 . . . (3.15)
A través de esta notación es muy sencillo hallar las órbitas periódicas del mapa. Un punto
fijo se da en p = 0 y q = 0, ya que (p, q) es invariante ante el corrimiento del punto hacia la
derecha (o izquierda).
La órbita periódica de período dos puede representarse simbólicamente sin punto, como el
siguiente invariante temporal: . . . 010101010101 . . ..
La ubicación del punto define el presente, o sea, el valor de p y de q en cada iteración. En
este caso los valores de p y q que se repiten ante iteraciones son q = 1 2
3 , p = 3
y q = 2
3
, p = 1
3
Por último podemos notar que el mapa es uniformemente hiperbólico con variedad estable
en q = cte y variedad inestable en p = cte, y posee un exponente de Lyapunov λ = ln 2.
3.3. Cuantización del Mapa del Panadero
Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, un mapa cuántico no es más que una transformación
unitaria operando en un espacio de Hilbert. Esta operación, además debe recuperar
ciertas propiedades de un mapa clásico en el límite semiclásico, o sea, cuando la dimensión del
espacio de Hilbert tiende a infinito.
La cuantización del mapa del panadero es la construcción de una dinámica cuántica en
correspondencia con la dinámica del panadero clásico. Antes de realizar cualquier intento de
cuantización de dinámica es necesario cuantizar el espacio de fases.