Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

2
EJEMPLO 2.- Sea f ( x)
= x − 2x
− 3 . Hallar ∆y, dy y E.A cuando x = 1 y
∆x = dx = 1,
0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001.
SOLUCIÓN:
Como
2
f ( x)
= x − 2x
− 3 , entonces como ∆ y = f ( x + ∆x)
− f ( x)
,
calculamos:
2
2
2
f ( x + ∆x)
= ( x + ∆x)
− 2(
x + ∆x)
− 3 = x + 2(
x)(
∆x)
+ ( ∆x)
− 2x
− 2∆x
− 3
2
f ( x)
= x − 2x
− 3
Sustituyendo estos valores en:
∆ y = f ( x + ∆x)
− f ( x)
, obtenemos:
2
2
2
∆y = x + 2(
x)(
∆x)
+ ( ∆x)
− 2x
− 2∆x
− 3 − ( x − 2x
− 3)
2
2
2
∆y = x + 2(
x)(
∆x)
+ ( ∆x)
− 2x
− 2∆x
− 3 − x + 2x
+ 3
2
∆y = 2(
x)(
∆x)
+ ( ∆x)
− 2∆x
si sustituimos por ejemplo los valores de
x = 1 y ∆x = 1 tendremos que:
2
∆y = 2(
x)(
∆x)
+ ( ∆x)
− 2∆x
∆y = 2(
1)(
1)
+
∆y = 2 + 1−
2
∆y = 1
( 1)
2 −
2(
1)
Otra manera de resolverse es utilizando el procedimiento del ejemplo 1, es decir:
Para x = 1 y ∆x = 1 tendremos que:
2
f ( x + ∆x)
= ( x + ∆x)
− 2(
x + ∆x)
− 3 =
2
f ( x + ∆x)
= ( 1+
1)
− 2(
1+
1)
− 3 =
2
f ( x + ∆x)
= ( 2)
− 2(
2)
− 3 =
f ( x + ∆x)
= 4 − 4 − 3 =
f ( x + ∆x)
= −3
2
f ( x)
= x − 2x
− 3
f
( x)
=
( 1)
f ( x)
= 1−
2 − 3
f ( x)
= −4
2
−
2(
1)
− 3
Diferenciales e Integral Indefinida
15