Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

2
h=
410 ⎡⎛
755 ⎞ ⎤ ⎛ 755 ⎞ 410
2
∫ ⎢⎜
⎟(
410 − h⎥
dh = ⎜ ⎟ ∫ ( 410 − h)
dh
h=
0
0
⎣⎝
410 ⎠ ⎦ ⎝ 410 ⎠
2
3
2
755 ( 410 ) 410
⎛ ⎞ ⎡ − h ⎤ 1 ⎛ 755 ⎞ 3 1 2
= ⎜ ⎟
= ⎜ ⎟ ( 410)
= ( 755)
( 410)
410
⎢−
3
⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 0 3⎝
410 ⎠ 3
3
= 77, 903,
416.
67 ≈ 78 millones pies .
EJEMPLO 4: Calculando el trabajo hecho.
2
Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
Una cadena uniforme de 28 m de largo que tiene una masa de 20 kg está
colgando del techo de un edificio. ¿Qué tanto trabajo se requiere aplicar para
jalar la cadena hasta el techo del edificio?
Solución: Ya que la masa de la cadena es 20 kg, su peso es (20 kg)(9.8 m/seg 2 )
=196 newtons, puede parecer que la respuesta sería (196 newtons)( 28
m)=5488 joules. Pero recuerda que no toda la cadena se tiene que mover los 28
m, los eslabones que están cerca del techo se mueven menos.
Dividamos entonces la cadena en pequeñas secciones de longitud ∆ y , cada
una de ellas pesa 7 ∆ y newtons. (Una longitud de 28 m pesa 196 newtons, así 1
m pesa 7 newtons). Si ∆ y es pequeña, todas las secciones de la cadena serán
jaladas aproximadamente la misma distancia, llamemos y , a la fuerza de
gravedad que va en contra de la fuerza de 7 ∆ y newtons. De esta manera, el
trabajo hecho sobre una de las secciones pequeñas de la cadena es
aproximadamente:
( 7∆y
newtons)( y metros) = 7 y∆y
joules .
Como ∆ y tiende a cero, obtenemos la integral definida. Ya que y varía de 0 a
28 m, el trabajo total realizado es
28 7 28
2
W = ∫ ( 7y)
dy = y = 2744 joules .
0 2 0
EJEMPLO 5: Aplicando la integral definida en economía.
Encontrar el valor presente y el futuro de una entrada constante de $100 dólares
por año sobre un período de 20 años, asumiendo una tasa de interés del 10%
compuesto continuamente.
Solución: El valor presente, $P, de un pago futuro $B, es la cantidad que debería
ser depositada al día de hoy en una cuenta bancaria para producir exactamente
$B en la cuenta a un tiempo pertinente en el futuro.
La expresión del valor presente cuando el interés es compuesto y continuo está
expresado por
T
−rt
Valor presente = P(
t)
e dt,
donde r es la tasa de interés compuesto, t es el tiempo y B es la cantidad
depositada. Por otro lado el valor futuro, $B, de un pago $P, es la cantidad que
debería crecer si es depositada en una cuenta bancaria a un cierto interés en un
tiempo pertinente. La expresión del valor futuro cuando el interés es compuesto y
continuo está expresado por
Valor futuro =
T
r(
T −t
)
P(
t)
e dt.
∫
0
∫
0
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