Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

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Cálculo integral II
Fig. 3.10. Región plana
que se hace girar sobre el
eje x para formar el sólido
que se va a retirar de la
esfera.
Valor presente =
∫
0
20
100e
⎛
dt = 100 ⎜
⎜−
⎝
−0.
1t
e
0.
1
−0.
1t
20
−2
= 1000(
1−
e
0
100
0
20
2 −0.
1
100e
e dt
0
⎞
⎟
⎠
0.
1(
20−t
)
Valor futuro ∫ e dt = ∫
2⎛
= 100e
⎜
⎜−
⎝
= 20
−0.
1t
e
0.
1
EJEMPLO 6: Un problema en economía.
⎞
⎟
⎠
20
0
2
= 1000e
( 1−
e
−2
) ≈
) ≈
$ 6389.
06.
$ 864.
66.
¿Cuál es la relación entre el valor presente y el valor futuro del ejemplo previo?
Explica tu respuesta.
Solución: Ya que
el valor
−2
presente = 1000(
1−
e ) ≈ $ 864.
66 y
el valor
2 −2
futuro = 1000e
( 1−
e ) ≈ $ 6389.
06.
Puedes ver que el valor futuro es
valor futuro = ( valor ) .
2
presente e
La razón de esto es que el monto a pagar es equivalente a un pago inicial de
$864.66 a un tiempo t = 0.
Con una tasa de interés del 10%, en 20 años ese
monto habrá crecido a un valor futuro de
rt
0.
1(
20)
864.
66 864.
66
2
$ 6389.
02.
B = Pe = e = e
EJEMPLO 7: Un problema de fabricación.
Un fabricante hace un orificio a través del centro de una esfera metálica de 5
pulgadas de radio. El orificio tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen
del anillo metálico resultante?
Solución: Puedes imaginar el anillo como si fuera generado por un segmento del
2 2
círculo cuya ecuación es x + y = 25 , como se ilustra en la Figura 3.10. En
virtud de que el radio del orificio es 3 pulgadas, puedes hacer y = 3 y resolver la
2 2
ecuación x + y = 25 para determinar que los límites de integración son
x = ± 4 . Por consiguiente, los radios interior y exterior son r ( x)
= 3 y
R( x)
− x
2
= 25 y el volumen se obtiene por
V = π
2
2
4
2
2
2
( R(
x)
) − ( r(
x)
) ] dx = ( 25 − x ) − ( 3)
dx
b
∫ [ π
a
∫−
4 ⎢⎣
⎥⎦
= π
4
∫− 4
⎡
2
( 16 − x ) dx
3 ⎡ x ⎤ 4
= π ⎢16x
− ⎥
⎣ 3 ⎦ −4
256π 3
= pu lgadas
.
3
≈
⎤