Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

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Cálculo integral II
Fig. 3.9. Corte vertical de la
pirámide donde se relaciona
y . es el grosor de una
pieza horizontal de la
pirámide.
Población total = [ ]
5
1.
05r
π r 170e
∫
0
= 340π
2 dr
gentes .
340π
1.
05r
5
1.
05r
= ⎡re − e dr⎤
0
1.
05 ⎢⎣ ∫ ⎥⎦
1.
05r
⎡
5
1.
05 e ⎤
= 1017.
28⎢re
− ⎥
⎢ 1.
05 ⎥ 0
⎣
⎦
= e
1.
05
∫
5
0
re
1.
05r
dr
5
[ 1017.
28r
− 968.
838]
0
566[
( 5086.
4 − 968.
838)
− ( 0 − 968.
838)
]
= 190.
= 969,
294.
90gentes.
EJEMPLO 3: Un problema de volumen.
Calcula el volumen, en pies cúbicos, de la gran pirámide de Egipto, cuya base
es un cuadrado de 755 pies y su altura es de 410 pies; cuyo volumen esta dado
por la expresión
2 ⎡⎛
755 ⎞ ⎤
V = ∑ s ∆h
= ∑ ⎢⎜
⎟(
410 − h)
⎥ ∆h
⎣⎝
410 ⎠ ⎦
2
3
pies .
Solución: Primero determinaremos de donde salió esa expresión del volumen.
La pirámide está construida de una serie de capas que inician desde la base de
la misma. Cada capa tiene una base cuadrada con un alto que denotaremos
como ∆ h , por supuesto esta altura es muy pequeña para cada capa de la
pirámide. La primera capa, la de la base, es una losa cuadrada de 755 pies por
755 pies por ∆ h pies. Como nos movemos a lo alto de la pirámide, las capas
tienden a ser más cortas en longitud. Sea s la longitud de la base, entonces el
volumen de cada capa es aproximadamente s ∆h
2 3
pies , donde s varía de
755 pies desde la capa de la base hasta 0 pies para la capa de la punta.
El volumen total de la pirámide es la suma de todos los volúmenes de las losas,
s ∆h
2
. Ya que cada capa es tiene una altura diferente h , debemos expresar s
como una función de h tal que cada término de la suma dependa solamente de
h . Si hacemos un corte de la pirámide a lo largo de su alto desde la base hasta
la punta , obtenemos la sección triangular dada en la Figura 3.9. Por semejanza
de triángulos, tenemos
s =
( 410 − h)
755 410 . De esta manera
s = ( 755/
410)(
410 − h)
, y el volumen total, V , es aproximadamente
2 ⎡⎛
755 ⎞ ⎤
V ≈ ∑ s ∆h
= ∑ ⎢⎜
⎟(
410 − h)
⎥ ∆h
⎣⎝
410 ⎠ ⎦
2
3
pies .
Como el grosor de cada capa tiende a cero, la suma da la integral definida.
Finalmente, ya que h varía de 0 a 140, la altura de la pirámide, tenemos