Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

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82 Cálculo integral II 6 5 4 3 2 1 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −2 y Fig. 3.2 Área por debajo de la curva mediante rectángulos inscritos. x Entonces el área aproximada de acuerdo a la expresión anterior es: ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 6 ⎞⎛ 1 ⎞ A = f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 9 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛16 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 25 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 36 ⎞⎛ 1 ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ 1 4 9 16 25 36 91 2 = + + + + + = = 3. 3703u . 27 27 27 27 27 27 27 Como se esperaba la aproximación es mejor que las anteriores. Ahora imagínate que podemos dividir el intervalo en una infinidad de subintervalos y no necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes, e inclusive con rectángulos por debajo de la curva, donde la altura sería ahora la función evaluada en el extremo izquierdo de cada subintervalo. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el contexto de límite, tal como se hizo con la derivada. Es decir el área aproximada tanto por debajo de la curva (ver Fig. 3.2) como por encima de la misma es: Área = n lim ∑ n→∞ i= 1 f ( x ) ∆x. Esto es, cuando aproximamos un área por rectángulos inscritos y circunscritos las sumas de las áreas de los rectángulos tanto por debajo de la curva como por encima de la misma, coinciden en un valor. Pero obviamente este procedimiento es muy engorroso llevarlo a cabo cada vez que quieras calcular el área bajo una curva. Por tal razón es preciso introducir una definición que nos facilitará el cálculo, dicha definición es la de integral definida. Definición de una integral definida Si f está definida en el intervalo cerrado [a,b] y existe el límite n lim ∑ ∆ →0 i= 1 f ( c ) ∆x entonces f es integrable en [a,b] y el límite se denota por lim ∆ →0 ∑ n i= 1 f ( c ) ∆x = i Es preciso aclarar que la definición anterior es hasta cierto punto muy intuitiva, si tienes oportunidad de consultar un libro de cálculo de nivel superior te darás cuenta que para comprender bien el concepto de integral definida, se requiere de definiciones más elaborados tales como sumas de Riemann, particiones irregulares, etc. Para nuestro fin es suficiente la anterior definición. Es importante notar que las integrales definidas y las indefinidas son identidades diferentes. Una integral definida es un número mientras que una integral indefinida es una familia de funciones. i i b a ∫ i i f ( x) dx. El límite se llama integral definida de f de a a b. El número a es el límite inferior de integración; el b es el límite superior.
Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida De la misma forma que en las derivadas, existen teoremas que nos permiten calcularla de manera práctica y sencilla, en el caso de la integral definida también se cuenta con herramientas que facilitan su cálculo, tal es el caso del teorema Fundamental del Cálculo integral, el cual enunciamos a continuación. 3.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. En el semestre pasado estudiaste cálculo diferencial, introducido con el problema de la recta tangente, y hasta ahora el cálculo integral, introducido con el problema del área. En este punto, ambos problemas parecen no estar relacionados, pero existe una conexión muy cercana. Esa conexión se expresa en un teorema que con toda propiedad se llama Teorema Fundamental del Cálculo. De modo informal, el teorema señala que la derivación e integración (definida) son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación. ∆y Cuando se define la pendiente de una recta tangente se usa el cociente ∆x (la pendiente de la recta secante). De igual modo, cuando se define el área de una región bajo una curva se utiliza el producto ∆ y∆x (el área de un rectángulo). El teorema fundamental del cálculo expresa que los procesos para hallar límites (usados para definir la derivada y la integral definida) conservan esta reacción inversa. TEOREMA: Teorema Fundamental del Cálculo. Si una función f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y F es una antiderivada de f sobre el intervalo [a,b], entonces b f ( x) dx = F( b) − F( a). Las siguientes directrices pueden ayudarte a entender el uso del teorema fundamental del cálculo. 1.- Asegúrate de que sea posible encontrar una antiderivada de f; entonces tiene una forma de evaluar una integral definida sin tener que usar el límite de una suma. 2.- Cunado apliques el Teorema Fundamental del Cálculo, es conveniente usar la siguiente notación: b a ∫ b f ( x) dx = F( x) = F( b) − F( a) 3 ∫ Por ejemplo, para evaluar ∫ 1 3 x dx, puedes escribir 4 3 3 3 x ∫ x dx = 1 4 1 4 4 3 1 = − 4 4 81 1 80 = − = = 20. 4 4 4 3.- No es necesario incluir una constante de integración C en la antiderivada, ya que b b f ( x) dx = F( x) + C ∫ a a a [ ] a [ F ( b) + C] − [ F( a + C] = ) = F( b) − F( a) . Si quieres saber acerca de la demostración de este teorema consulta en Internet la página http://www.mat.uson .mx/eduardo/calculo 2/ 83
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