Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

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Cálculo integral II
y
6
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
5
4
3
2
1
−2
−3
−4
Fig. 3.3 La integral definida de
y=|2x-1| sobre [0,2] es 5/2.
x
EJEMPLO 1: Evaluación de una integral definida.
Evalúa cada integral definida utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.
2
2
a) ∫ ( x
1
− 3)
dx
b) ∫ x dx
4
1 3 c)
π
2
sec xdx
Solución:
a)
3
2
⎡
2 x
∫ ( x − 3)
dx = ⎢
1
⎣ 3
3
3
⎤ 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2
− 3x⎥
= ⎜ 3(
2)
⎟ ⎜ 3(
1)
⎟
⎜
− − = ⎜ − 6⎟
− ⎜ − 3⎟
= − .
1 3 ⎟ ⎜
−
3 ⎟
⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3
b)
4
∫ 3
1
4
⎡ 3
2 ⎤
4 1
3
3
2
2
2
3 3⎢
x
x dx = ⎥
∫ x dx = = 2(
4)
− 2(
1)
= 14.
1 ⎢ 3 ⎥
⎣ 2 ⎦
∫
π
4 2
4
c) sec xdx = tan x = 1−
0 = 1.
2
0
0
2
0
π
0
x
x
x 2 2 0
d) ∫ 2e
dx = 2∫
e dx = 2[
e ] 0 = 2(
e ) − 2(
e ) = 14.
77 − 2 = 12.
77.
e)
x
+ x −1
dx =
2
x
2
e e
∫ ∫
1 1 2
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜
⎜1+
− ⎟ dx = ⎜ x + ln x + ⎟
⎝ x x ⎠ ⎝ x ⎠
⎛ 1 ⎞
= ⎜
⎜e
+ 1+
⎟ −
⎝ e ⎠
1
( 1+
0 + 1)
= 4.
08 − 2 = 2.
08.
En el ejemplo (c) es importante aclarar que al momento de evaluar la integral,
debes verificar que tu calculadora esté programada en radianes.
En los ejemplos subsecuentes haremos uso del Teorema Fundamental del Cálculo
a la solución de problemas de cálculo de áreas.
EJEMPLO 2: Para encontrar el área que comprende un valor absoluto.
2
Evalúa ∫ 2x −1
dx,
utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.
0
Solución: Si usas la figura y la definición de valor absoluto, puedes escribir de
nuevo el integrando como sigue:
⎧
⎫
⎪−
( 2x
−1),
x < 1
⎪
2x
−1
=
2
⎨
⎬
⎪ 2 −1,
≥ 1 .
x x
⎩
2 ⎪
⎭
Ahora puedes escribir de nuevo la integral en dos partes.
2
0
1
2
∫ x −1
dx = ∫ − ( 2x
−1)
dx + ∫ ( 2x
− 1
0
2
e
1
2
∫ 4
2 1)
dx
=
[ ] [ ] 2
1
2
2
2
− x + x + x − x
0
2 ⎛ ⎞
⎛
⎜ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎟
⎛ 1 ⎞
= − −
⎜ ⎜
⎟ + (
⎟
⎜⎜
⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ 2
⎠
⎝⎝
2 ⎠
⎟ ⎛ 1 1 ⎞
⎛ 1 1 ⎞
= ⎜
⎜−
+ ⎟ − ( 0 + 0)
+ ( 4 − 2)
− ⎜ −
⎝ 4 2 ⎠
⎝ 4 2 ⎠
5
= .
2
1
2
0
1 ⎞
2
⎠
() () ⎟ ⎟
2
2
0 + 0)
+ ( 2 − 2)
−
⎜⎜
⎟ −
2