Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

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Cálculo integral II
2
3x
− 2x
+ 4
EJEMPLO 6: Encuentra ∫ 3 2
( 4x
− 4x
+ 16x)
2
dx.
Solución: En este ejemplo el integrando es un cociente de polinomios específicamente, observa que el
denominador del cociente es una potencia, por lo que la sugerencia para el cambio de variable de acuerdo a
3 2
los ejemplos anteriores es precisamente u = 4x
− 4x
+ 16x
, diferenciando obtienes
2
du = ( 12x
−8x
+ 16)
dx , observa que el diferencial de u es parecido al numerador del cociente del
integrando, por lo que al momento de despejar te sugiero que consideres nuevamente el factor común con el
objetivo de eliminar ese factor al momento de aplicar la sustitución del cambio de variable. Ahora despejamos
du
dx de du , dx =
y sustituimos en la integral:
2
4(
3x
− 2x
+ 4)
2
2
3x
− 2x
+ 4 3x
− 2x
+ 4 du
∫ dx =
;
3 2 2
2
2
( 4x
− 4x
+ 16x)
∫ u 4(
3x
− 2x
+ 4)
1 du 1 −2
=
;
4 ∫ = u du
2
u 4 ∫
−1
1 u 1
= ⋅ + C = − + C;
4 −1
4u
1
= −
+ C.
3 2
4(
4x
− 4x
+ 16x)
Con todos estos ejemplos pudiste darte cuenta ya, de los pasos a seguir para llevar a cabo la integración por
sustitución. Enseguida te presentamos un resumen de estos pasos.
1.- Elige un cambio de variable u = g(x)
. Casi siempre es mejor elegir la parte interna de una función
compuesta; digamos, una cantidad elevada a una potencia, una función radical, el argumento de una función
trigonométrica o una exponencial cuando éste no es una simple x , etc.
2.- Calcula du = g'(
x)
dx y despeja de ella dx .
3.- Escribe de nuevo la integral en términos de la variable u sustituyendo el cambio de variable.
4.- Evalúa la integral resultante en términos de u .
5.- De nuevo sustituye u por g (x)
para obtener una antiderivada en términos de x .
6.- Si quieres comprobar tu respuesta puedes hacerlo mediante derivación o mediante el uso de la tecnología.
(Busca “The Integrator” en el Google).
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