Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
La Figura 3.3 muestra el área determinada por la función y las rectas verticales
que es de 5/2.
EJEMPLO 3: Para encontrar área comprendida por una función polinomial.
Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de 2 3 2,
2
y = x − x + el
eje x y las rectas verticales x = 0 y x = 2 , como se muestra en la Figura 3.4.
Solución: Observe que y>0 sobre el intervalo [0,2].
= − +
2
2
Área ( 2x
3x
2)
dx
∫
0
3 2 ⎡2x
3x
⎤
= ⎢ − + 2x
3 2
⎥
⎣
⎦ 0
⎛16
⎞
= ⎜ − 6 + 4⎟
− 0 − 0 + 0
⎝ 3 ⎠
10
= .
3
2
( )
EJEMPLO 4: Para encontrar área comprendida por una función lineal.
Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de y = x el eje x y las
rectas verticales x = −2
y x = 0 , como se muestra en la Figura:
Solución: Observa que y < 0 (es decir, está por debajo del eje de las x ) sobre
el intervalo [-2,0].
Área
= ∫− 0
2 dx x
2
0
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣
x
⎛ 0 ⎞
= ⎜ ⎟ −
⎝ 2 ⎠
2 ⎦ −2
( 2)
= −2.
4
3
2
1
Integra entre 0 y 2
Encuentra la antiderivada
Aplica el teor. fundamental
Simplifica
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
y
Integra entre -2 y 0
Encuentra la antiderivada
Como te puedes dar cuenta el resultado de la integral es negativo, esto se debe a
que el área sombreada se encuentra por debajo del eje x . Evidentemente el área
de una región no puede ser negativa, el signo (-) resultante de una integral
definida, nos indicará gráficamente que el área bajo la curva se encuentra por
debajo del eje x .
x
Aplica el Teor. Fundamental
5
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
Fig. 3.4 El área de la región
acotada por la gráfica de y, el
eje x, x=0 y x=2, es 10/3.
y
85
x