Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

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Cálculo integral II
( b)(
h)
( 6)(
6)
2
El área correspondiente del triángulo es A = = = 18u
.
2 2
En el caso de estos ejemplos surgieron figuras de polígonos cuya fórmula para
calcular el área de cada uno de ellos es conocida. Sin embargo si queremos
2
calcular el área bajo la función f ( x)
= x entre x = 0 y x = 2 ,
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
y
Como puedes observar el área sombreada bajo la curva ya no es un polígono
conocido del cual conozcas su fórmula para calcular el área.
El problema de asignar el área bajo una curva como en la figura anterior requiere de
otras herramientas, tales como aproximar el área bajo la curva mediante
rectángulos. Dicha aproximación puede ser considerada por rectángulos
circunscritos (es decir, rectángulos por encima de la curva) o por rectángulos
inscritos (rectángulos por debajo de la curva). Por ejemplo si consideramos el
rectángulo por encima de la curva de base 2 y altura 4 como se observa en la
figura:
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
y
El área aproximada sería de 8 u 2 , que obviamente no es una buena aproximación al
área sombreada debido a que es mayor. Ahora si dividimos el intervalo de 0 a 2 en
dos subintervalos de longitud 1, entonces tendríamos dos rectángulos de base 1
cada uno, pero ahora consideremos también alturas diferentes para cada uno tales
2
como f ( 1)
y f ( 2)
, es decir, como f ( x)
= x entonces las alturas de los
2 2
rectángulos son f ( 1)
= ( 1)
= 1 y f ( 2)
= ( 2)
= 4 respectivamente.
x
x