Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

2.1.
LA INTEGRAL INDEFINIDA.
2.1. La integral indefinida (Antiderivada).
Integral definida
Si me pongo los zapatos, puedo quitármelos otra vez. La segunda operación anula a la primera, regresando los
zapatos a la posición original. Decimos que las dos son operaciones inversas. Las matemáticas contienen
muchos pares de operaciones inversas: La Suma y la resta; al igual que la división y la multiplicación; lo mismo
puede decirse de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente, productos notables y la factorización. En
el Cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la derivada f ´(x)
de una función f (x)
. Ahora nos
ocuparemos del problema inverso, es decir, dada una función f (x)
buscaremos obtener la función F (x)
, tal
que al derivar F obtengamos la función f (x)
. A F (x)
se le conoce como la antiderivada de f (x)
. Veamos
los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1: Encuentra la antiderivada de f ( x)
= 2x
y represéntala gráficamente.
Solución: Buscamos una función (x)
( x)
de cálculo diferenciaI I, sabemos que la función cuya derivada es 2 x , es:
F que satisfaga la igualdad F ' = 2x
. Recordando los conocimientos
2
F ( x)
= x ;
2
ya que la derivada de F ( x)
= x es F ' ( x)
= 2x
. Sin embargo, sabemos que no es la única, pues también si
derivamos las siguientes funciones:
F(
x)
= x
F(
x)
= x
F(
x)
= x
2
2
2
− 3,
3
+ ,
2
− 2π
,
obtenemos la misma derivada. Generalizando lo anterior podemos escribir F x = x + C
2
( ) , donde C es
cualquier constante, dichas funciones representan la antiderivada de la función f ( x)
= 2x
.
Si representamos gráficamente cada una de las antiderivadas obtenemos:
Observa que la
diferencia entre las
parábolas se da en el
corte de éstas con el eje
y . Los valores de las
ordenadas en dicho corte
representan los valores
que puede tomar la
constante C .
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