Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

Sustituyendo el cambio de variable obtenemos:
sen x senu
∫ dx = 2 ( xdu)
,
x ∫ x
= 2 ∫ senu
du ,
= −2
cos u + C ,
= −2
cos x + C .
∫
2
EJEMPLO 4: Encuentra sen 3x
cos3xdx.
2
2
Solución: Como sen 3x
= ( sen3x)
, haz u = sen3x
. Entonces du = (cos3x)( 3)
dx.
.
du
Ahora, despejamos dx , obteniendo dx = , se sustituyen u y du en la integral dada
3cos3x
3cos3x
produciendo lo siguiente:
2
2 du
∫ sen 3x
cos3xdx
= u cos3x
,
∫ 3cos3x
1 2
= ∫u
du ,
3
3
1 ⎛ u ⎞
= ⎜
⎟ + C ,
3 ⎝ 3 ⎠
1 3
= sen 3x
+ C .
9
Integral definida
2
x + 2x+
6
EJEMPLO 5: Encuentra ∫ ( x + 1)
e dx .
Solución: En el caso de las funciones exponenciales es recomendable considerar el argumento de la función
2
exponencial (es decir, todo el exponente) como el cambio de variable u . Así u = x + 2x
+ 6 , diferenciando
u obtienes: du = ( 2x
+ 2)
dx , despeja dx y no olvides considerar el factor común con la finalidad de obtener
du
un factor igual al factor que tienes en el integrando para que logres la cancelación del mismo, dx = .
2 ( x + 1)
Sustituye el cambio de variable en la integral para proceder a integrar bajo algún teorema básico:
2
x + 2x+
6
u du
∫
( x + 1)
e dx = ∫(
x + 1)
e ;
2(
x + 1)
1 u
= ,
2 ∫ e du
1 u
= e + C,
2
1 2
x + 2x+
6
= e + C.
2
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