Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

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Cálculo integral II
2 2
EJEMPLO 1: Encuentra ∫ ( x + 1)
( 2x)
dx.
2
Solución: Primero, haz que u sea la función interna, u = x + 1.
Después, calcula el diferencial de u que es
2 2 2
du = 2xdx
, despejando dx de la expresión de du , tienes dx = du / 2x
. Ahora, usando ( x + 1)
= ( u)
,
sustituye el cambio de variable para obtener lo siguiente:
2 2
2 ⎛ du ⎞
∫ ( x + 1)
( 2x)
dx.
= ∫ u 2x⎜
⎟
Integral en términos de u
⎝ 2x
⎠
2
= u du
∫
3 ⎛ u ⎞
= ⎜
⎟ + C
⎝ 3 ⎠
=
3
2 ( x + 1)
+ C.
1 3
Si te fijas la intención del cambio de variable es expresar la integral, que es un producto de funciones, en
una integral más sencilla, de tal manera que puedas utilizar los teoremas básicos de integración. En este
2 2
ejemplo con el cambio de variable sugerido se logró expresar el producto de funciones ( x + 1)
( 2x)
dx
como una potencia de funciones u du
2 con la finalidad de utilizar el teorema de integración básico
correspondiente.
EJEMPLO 2: Encuentra ∫ x 2x − 1dx.
Solución: Como en el ejemplo anterior, hacemos que u sea la función interna, u = 2x −1,
el diferencial de u
es du = 2dx
y obtenemos dx = du / 2.
Como el integrando contiene un factor de x que no se va a poder
cancelar al sustituir dx , también debemos despejar x en términos de u , como sigue:
u + 1
u = 2x
−1
⇒ x = .
2
Ahora, haciendo la sustitución del cambio de variable, obtienes lo siguiente:
⎛ u + 1 ⎞ 1 ⎛ du ⎞
⎜
⎟ 2
∫ x 2x
−1dx = ∫ u ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
14243
⎠
sen x
EJEMPLO 3: Encuentra ∫ dx .
x
x
1 3 1 ⎛ 2 2
=
⎞
∫ ⎜u
+ u ⎟du 4 ⎝ ⎠
⎛ 5 3
2 2 ⎞
1 ⎜ u u ⎟
=
+ C
⎜ +
4 5 3 ⎟
⎝ 2 2 ⎠
1
5 1
3
= 2x
−1
2 + 2x
−1
2 + C
10
6
( ) ( ) .
Solución: Como el integrando involucra la función trigonométrica sen x el cambio de variable adecuado es
1
2
u = x = u , ya que el denominador del integrando contiene la misma forma del argumento de la función
1 − 1
Antiderivada en términos de u
Antiderivada en términos de x
trigonométrica. De modo que du = x
2
2dx
, despejando dx tenemos:
2du 1
2
dx = = 2x
du = 2
− 1
2 x
x du .