Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

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Cálculo integral II
Esta primera aplicación de la integración por partes ha simplificado la integral original, pero la integral del
miembro derecho aún no se ajusta a la regla básica de integración. Entonces, para evaluar esa integral
puedes aplicar nuevamente la integración por partes. En esta ocasión, haz u = 2x.
u = 2x ⇒ du = 2dx,
La integración por partes produce ahora:
∫2 xcos xdx = 2xsenx
−∫2senxdx
2cos
. C x
xsenx + + =
2 2
dv = cos x dx ⇒ v = ∫ cos x dx = sen x.
Al combinar estos dos resultados escribimos
2
2
∫ x senxdx = −x
cos x + 2xsenx
+ 2cos
x + C.
Donde C es la suma de 1 2 C C + .
EJEMPLO 5: Encuentra ∫e
x dx
x cos .
Solución: Haz
x
u = e .
Y la integración por partes ∫ uv −∫
∫
e
x
u = e
x
⇒
x
du = e dx,
dv = cos x dx ⇒ v = cos x dx = sen x .
udv = vdu produce:
x
x
cos x dx = e sen x − ∫ e sen x dx + C
Aplicando nuevamente la integración por partes:
x
u = e
∫
x
x
e cos x dx = e sen x −
1
⇒
∫
x
du = e dx,
dv = sen x dx ⇒ v = sen x dx = −cos
x .
x
x
[ − e cos x + e cos x dx]
∫
∫
x
x
x
= e sen x + e cos x − e cos x dx + C ,
pasando la integral del miembro derecho de la igualdad hacia el lado izquierdo y factorizando tenemos:
x
x
2 e cos x dx = e ( sen x + cos x)
+ C
∫
∫
+ C
1 x
= e ( sen x + cos x)
+ C.
2
ln( x + 1)
EJEMPLO 6: Encuentra ∫ dx.
x + 1
Solución:
1
u = ln( x + 1)
⇒ du = dx,
x + 1
− 1
Segunda integración por partes
2
2
dv = ( x + 1)
dx ⇒ v = ( x + 1)
dx = 2(
x + 1)
∫
− 1
1
2