Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
Observa que las alturas de los rectángulos que están por encima de la curva
corresponde a la función evaluada en el extremo derecho de cada subintervalo. Por
lo tanto el área correspondiente es la suma de las áreas de ambos rectángulos,
esto es,
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
y
A = f ( 1)(
1)
+ f ( 2)(
1)
= ( 1)(
1)
+ ( 4)(
1)
2
= 5u
Como te puedes dar cuenta la aproximación del área es mejor que en el caso
anterior. Luego entonces, si este procedimiento lo continuamos haciendo la
aproximación al área va a ser cada vez mejor, es decir, si dividimos el intervalo de 0
a 2 en n (donde n puede tomar cualquier entero positivo) subintervalos, entonces
el área del i-ésimo rectángulo (cuya base es el subintervalo con extremos x i−
1,
xi
,
con longitud ∆x = xi
− xi−1
y altura f ( xi
) ), está dada por:
A f xi
x ∆ = ) ( . De tal manera que el área aproximada es la suma (que
denotaremos con la letra griega sigma, ∑ ) de las áreas de los n rectángulos, y
la expresamos por:
n
A = f ( x ) ∆ .
1
∑ i= i x
Por ejemplo si el intervalo de 0 a 2 lo dividimos en n = 6 subintervalos, entonces
1
cada rectángulo tendría base de longitud igual a , (ya que el intervalo es de
3
longitud 2, dividido en 6 partes resultan 6 subintervalos de longitud un tercio) como
lo muestra la Figura 3.2.
x
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
−2
y
Fig. 3.2 Aproximación del área
bajo la curva por rectángulos
circunscritos.
81
x