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4 RECHERCHE ET DÉVELOPPEMENT, L’UMR STMS
■ Fondements mathématiques, cognitifs et musicologiques
Cet axe de recherche constitue la suite naturelle du projet
MISA (Modélisation informatique des structures algébriques
en musique) dans ses trois dimensions principales : mathématiques/informatique,
cognitives et musicologiques (en
particulier pour l’analyse musicale computationnelle). Avec
la thèse d’Arnaud Dessein sur la géométrie de l’information,
il intersecte aussi avec le projet MuSync.
Approches géométriques et logiques
en informatique musicale
Le travail de thèse de Louis Bigo poursuit l’étude du paradigme
de la programmation spatiale en vue de son application
en analyse musicale (co-encadrement de J.-L. Giavitto
et M. Andreatta avec l’université de Paris-Est). La programmation
spatiale vise à modéliser des problèmes comme
déplacements dans un espace ou comme transformation
de structures spatiales. Elle fournit des outils informatique
permettant de développer des analyses dans la lignée de la
Set Theory. Ce travail a déjà permis d’explorer la pertinence
d’outils topologiques pour la représentation et la classification
d’objets musicaux tels le calcul des séries tous intervalles,
la théorie harmonique néo-riemannienne et la représentation
géométrique de suites d’accords. Une méthode de
calcul automatique de l’espace cellulaire engendré par une
série d’accords à n notes a été développée en MGS et présentée
à MCM. Un outil expérimental a été développé afin
d’assister le musicologue dans la recherche du Tonnetz le
plus adapté à l’analyse d’une séquence musicale (cf. Fig. 1).
L’outil se focalise sur les réseaux hexagonaux et développe
plusieurs mesures de compacité des accords dans ces
réseaux. Un prototype expérimental a été développé en MGS.
Une seconde version, plus commode pour le dialogue avec
les compositeurs, est développée en Java. À terme, cette
suite d’outils sera intégrée à l’environnement OpenMusic.
Mathématique, musique et cognition
Cette recherche est menée dans le cadre d’une extension
du projet « Mathématiques/Musique et Cognition » (AFIM,
2008-2010). L’année 2011 a été consacrée, en particulier, à
l’utilisation de la transformée de Fourier discrète en musicologie
computationnelle et à la théorie des ensembles
homométriques. En formalisant la relation Z d’un point de
vue algébrique, nous avons pu tout d’abord montrer que cette
relation pertinente d’un point de vue musical est en réalité
un cas particulier de la théorie des ensembles homométriques.
De plus, en introduisant la transformée de Fourier
discrète (DFT) d’un sous-ensemble d’un groupe cyclique Z/
nZ, on arrive à une formalisation élégante de la relation Z
(et donc des ensembles homométriques). Étant donné deux
sous-ensembles A et B de Z/nZ, A ~Z B ssi, les modules de la
DFT de A et B coïncident. Ceci ouvre la question de la récupération
de la phase (phase retrieval) en théorie mathématique
de la musique, autrement dit comment reconstruire
une structure musicale (accord, pattern rythmique,...) à
partir de son contenu intervallique. Il s’agit d’un problème
qui reste ouvert, comme d’ailleurs celui d’une énumération
exhaustive de toutes les parties de Z/nZ en relation Z pour
un tempérament égal donné. Notre contribution principale
a été la présentation de cette approche théorique dans le
cadre de la théorie de la mesure ainsi que l’étude computationnelle
de la relation Z généralisée (ou relation Zk) qui nous
a permis de montrer l’existence d’ensembles en relation Z 4
(dans le cas du groupe cyclique d’ordre 36). Par définition,
deux sous-ensembles A et B de Z/nZ sont en relation Z k si
toute orbite de cardinalité k (par rapport à l’action du groupe
diédral) est contenue le même nombre de fois dans les deux
sous-ensembles. L’étude des retombées perceptives de l’utilisation
de la DFT dans la représentation des patterns rythmiques
a fait l’objet du stage de Master 2 de Pierre Beauguitte
dans le cadre de la formation Atiam et suscite une
collaboration avec Isabelle Viaud-Delmon (équipe Espaces
acoustiques et cognitifs) et Patrick Susini (équipe Perception
et design sonores) ainsi que le compositeur Daniele Ghisi.
Fig. 1
Formalisation algébrique et catégorielle des structures
musicales
Thèse de John Mandereau en co-tutelle avec l’Université de Pise
et l’UPMC, dir. M. Andreatta et C. Agon. 2009-2012.
Le travail de recherche mené en 2011 prolonge les essais de
représentation et de formalisation des partitions musicales
en s’appuyant sur des méthodes issues des « catégories
pondérées » et en s’inspirant du modèle SEM (systèmes évolutifs
à mémoire) d’Andrée Ehresmann. On s’est concentré
sur le problème d’utiliser les SEM comme généralisation
de la théorie des réseaux des neurones, des automates et
des X-machines. Afin de définir une sémantique pour les
SEM englobant les réseaux des neurones artificiels et les
automates, on a défini le concept de « système évolutif neuronal
» (ENS, Evolutive Neural System). Ces résultats ont été
présentés dans deux séances du séminaire MaMuX consa-
IRCAM – RAPPORT D’ACTIVITÉ 2011
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