THÈSE - Bibliothèque Ecole Centrale Lyon - École Centrale de Lyon

3.3 Contrôle actif par retour d'état 103ou encore :\T T L T R JQ, S, T, L, R et N sont les matrices qui contienent les coefficients de pondération. La loide commande s'écrit :u(t) = -R~ l {T l + BK(t)}X(t) (3.36)et K(t) est la matrice de Ricatti qui vérifie l'équation algébrique de Riccati :Ê(t) = -K(t) n-  T nK(i) -Q n+ K(t)ÉR- 1 B T K(t) (3.37)ou n= A — É T R~ 1 f T (3.38)Q n= Q — f T R~ l T T (3.39)Les algorithmes de résolution de l'équation matricielle de Ricatti convergent uniquementsi le système est entièrement contrôlable, c'est à dire lorsque la commande u(t). a uneinfluence sur toutes les composantes de x(t). Or l'équation (3.36) montre que la composantez(t) de X(t) n'est pas modifiée par u(t).Pour résoudre cette difficulté, on sépare le problème selon deux composantes x(t) etz(t). Il suffit alors de résoudre les deux premières équations du système: une équation deRicatti de matrice inconnue K x(t) et une équation de type Lyapunov de matrice inconnueK z(t). L'équation algébrique de Ricatti devient, dans le cas à horizon infini :-K n- ÂlK -Q n+ KBR~ 1 B T K = 0 (3.40)Les matrices K xet K zvérifient les équations algébriques :—K XA — A T K x— Q n+ K xBR~ l B T K x= 0 (3.41)K xD + k zA z+ A T k z+ S-K xBR- x B T K z= 0 (3.42)et la commande s'écrit :u (t) = -R-1 [(T T + BK x)x(t) + (L T + BK zz(t)} = FX(t) (3.43)avec F la matrice de gain.Cette loi de contrôle est proportionelle au vecteur d'état complet x(t) (boucle fermée)avec un gain F xet au vecteur d'excitation z(t) avec un gain F z. Cette commande est appeléeboucle ouverte-fermée.Remarques