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58 Chap. 1. Contexte de l'étudeFig. 1.30 - Contribution de l'écoulement de l'air par rapport à la viscosité du polymre d'unemousse en fonction de la fréquence et de la déformation (en %)La formulation de la loi de comportement, c'est à dire la relation qui lie les contraintesaux déformations, par des opérateurs à dérivées fractionnaires est une approche très générale.Elle est intéressante car elle exige un faible nombre de paramètres à identifier. Lesétudes de Bagley et Torvik ([7],[8]), de Smit et Vries ([110]) sur le comportement de nombreuxmatériaux viscoélastiques, ont montré que le modèle mathématique général de la loide comportement de ces matériaux peut être défini par l'expression suivante :a(t) + bD p [a{t)} = E 0e(t) + £ xI> a [e(f)] (1.73)Ce modèle suppose que le matériau est homogène et isotrope. Il s'applique à un état decontrainte uni axial. Il présente cinq paramètres réels b, E 0, Ei, a et (3. D aest l'opérateur dedérivée fractionnaire. L'expression de la dérivée fractionnaire d'une fonction x(t) est définiepar :1 (1 — a) Jo r aoù 0 < a < 1 et T est la fonction euiérienne de deuxième espèce appelée fonction Gamma.La transformée de Fourier (TF) de la dérivée fractionnaire d'ordre a de x(t) s'écrit :F[D a [x{t)]] = (ju 1) a F[x(t)] (1.75)avec P — —1. En appliquant la TF à la relation (1.73), on obtient :) + b(juf