Komputasi untuk Sains dan Teknik - Universitas Indonesia

8.2. PDP ELIPTIK 125dimana c adalah titik awal pada sumbu vertikal y. Perhatikan Gambar 8.1, garis-garis yangsejajar sumbu horisontal, y = y i dan garis-garis yang sejajar sumbu vertikal, x = x i disebut gridlines. Sementara titik-titik perpotongan antara garis-garis horisontal dan vertikal dinamakanmesh points.Turunan kedua sebagaimana yang ada pada persamaan (8.5) dapat dinyatakan dalam rumuscentered-difference sebagai berikut∂ 2 u∂x 2(x i, y j ) = u(x i+1, y j ) − 2u(x i , y j ) + u(x i−1 , y j )h 2− h2 ∂ 4 u12 ∂x 4(ξ i, y j ) (8.8)∂ 2 u∂y 2 (x i, y j ) = u(x i, y j+1 ) − 2u(x i , y j ) + u(x i , y j−1 )k 2− k2 ∂ 4 u12 ∂y 4 (x i, η j ) (8.9)Metode Finite-Difference biasanya mengabaikan suku yang terakhir, sehingga∂ 2 u∂x 2(x i, y j ) = u(x i+1, y j ) − 2u(x i , y j ) + u(x i−1 , y j )h 2 (8.10)∂ 2 u∂y 2 (x i, y j ) = u(x i, y j+1 ) − 2u(x i , y j ) + u(x i , y j−1 )k 2 (8.11)Pengabaian suku terakhir otomatis menimbulkan error yang dinamakan truncation error. Jadi,ketika suatu persamaan diferensial diolah secara numerik dengan metode Finite-Difference, makasolusinya pasti meleset/keliru "sedikit", karena adanya truncation error. Akan tetapi, nilaierror tersebut dapat ditolerir hingga batas-batas tertentu yang uraiannya akan dikupas padabagian akhir bab ini.Ok. Mari kita lanjutkan! Sekarang persamaan (8.10) dan (8.11) disubstitusi ke persamaan (8.5),hasilnya adalahu(x i+1 , y j ) − 2u(x i , y j ) + u(x i−1 , y j )h 2 + u(x i, y j+1 ) − 2u(x i , y j ) + u(x i , y j−1 )k 2 = f(x i , y j ) (8.12)dimana i = 1, 2, ..., n − 1 dan j = 1, 2, ..., m − 1 dengan syarat batas sebagai berikutu(x 0 , y j ) = g(x 0 , y j ) u(x n , y j ) = g(x n , y j )u(x i , y 0 ) = g(x i , y 0 ) u(x i , y m ) = g(x i , y m )Pengertian syarat batas disini adalah bagian tepi atau bagian pinggir dari susunan mesh points.