Komputasi untuk Sains dan Teknik - Universitas Indonesia

12.2. INVERSI NON-LINEAR 16912.2 Inversi Non-LinearPersamaan least squares linear adalah sebagai berikut:[G t G]δm = G t δd (12.17)Persamaan least squares non-linear dapat dinyatakan sebagai berikut:[G t G + λI]δm = G t δd (12.18)dimana G adalah matrik kernel, namun dia juga biasa dikenal dengan sebutan matrik Jacobian,sementara λ adalah faktor pengali Lagrange, dan I adalah matrik identitas yang ordenyadisesuaikan dengan G t G. Adapun definisi δm dan δd akan dijelaskan pada bagianakhir catatan ini.Langkah-langkah untuk menyelesaikan problem least squares non-linear adalah:1. Menentukan model, misal f(x) = x m2. Menghitung jacobian, G. Caranya adalah menghitung turunan pertama dari model terhadapmodel-parameter, m. Sesuai permisalan pada point 1, didapatA = ∂f(m)∂m = xm ln(x) (12.19)3. Membuat perhitungan simulasi, misalnya ditentukan m = 2. Nilai m adalah nilai yanghendak dicari. Dalam simulasi, nilai m dianggap sudah diketahui bahkan ditentukan.Lalu hitunglah f(x) = x m dengan x bergerak dari x = 1, 2, 3..,10. Jadi, nanti akan didapat10 buah f(x). Mau lebih dari 10 juga boleh, terserah saja. Hasil hitungannya dikasihnama d, jadi d = f(x). Karena dalam simulasi ini x-nya bergerak hanya sampai 10, makahasilnya mesti ada 10 d, yaitu d 1 , d 2 , .., d 10 .4. Buatlah perhitungan untuk m sembarang, misal mula-mula dipilih m = 5. Ini adalah nilaiawal dari m yang akan diiterasikan sedemikian rupa hingga nantinya m akan menuju2 sesuai dengan nilai m pada simulasi (point 3). Bagusnya dibedakan penulisannya, atautulis saja m 0 = 5, dimana m 0 maksudnya adalah m mula-mula. Lalu hitung lagi nilaif(x) = x m0 . Sekarang dinamakan d c = f(x). Jangan lupa bahwa saat perhitungan, nilaix bergerak dari 1 sampai 10. Jadi, nanti didapat 10 d c .5. Hitunglah δd, dimana δd = d c −d. Sebelumnya sudah dinyatakan bahwa d c ada 10 buah,demikian juga d ada 10 buah, maka δd harus ada 10 buah juga.6. Selanjutnya hitung ||δd|| yang rumusnya seperti ini||δd|| = 1 N Σ(dc − d) 2 = 1 N Σδd2 (12.20)dimana N = 10 karena δd-nya ada 10. Rumus ini tidak mutlak harus demikian, anda bisajuga menggunakan norm 2, l 2 .