Komputasi untuk Sains dan Teknik - Universitas Indonesia

4.2. ALGORITMA 65Dalam operasi matrik menjadi⎡⎢⎣1 1 0 32 1 −1 13 −1 −1 2−1 2 3 −1⎤⎡⎥⎢⎦⎣⎤ ⎡x 1x 2x⎥3 ⎦ = ⎢⎣x 48714−7⎤⎥⎦(4.8)Perhatikan baik-baik! Matrik A sama persis dengan contoh sebelumnya. Perbedaannya hanyapada vektor b. Selanjutnya, dengan metode LU-decomposition, persamaan (4.8) menjadi⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤ ⎡1 0 0 0 1 1 0 3 x 12 1 0 00 −1 −1 −5x 2⎢⎣ 3 4 1 0⎥ ⎢⎦ ⎣ 0 0 3 13⎥⎢⎦⎣x⎥3 ⎦ = ⎢⎣−1 −3 0 1 0 0 0 −13 x 4⎤8714⎥⎦−7Silakan anda lanjutkan proses perhitungannya dengan mencari vektor y sesuai contoh yangtelah diberikan sebelumnya. Pada akhirnya akan diperoleh solusi sebagai berikut: x 1 = 3,x 2 = −1, x 3 = 0, dan y 4 = 2.(4.9)4.2 AlgoritmaSekarang saatnya saya tunjukkan algoritma metode LU decomposition. Algoritma ini dibuatuntuk menyelesaikan sistem persamaan linear, dengan cara menfaktorkan matrik A = (a ij )berukuran n x n menjadi matrik L = (l ij ) dan matrik U = (u ij ) dengan ukuran yang sama.Algoritma LU-decomposition yang anda lihat sekarang merupakan modifikasi dari algoritmaeliminasi gauss. Silakan anda periksa langkah-langkah mana saja yang telah mengalamimodifikasi! Tapi asal tahu saja bahwa ini bukan satu-satunya algoritma untuk mendapatkanmatrik LU. Sejauh yang saya tahu, ada algoritma lain untuk tujuan yang sama, dimana algoritmatersebut membutuhkan matrik permutasi untuk menggeser elemen pivot yang bernilainol agar terhindar dari singular. Nah, sedangkan algoritma yang akan anda baca saat ini, samasekali tidak “berurusan” dengan matrik permutasi. Algoritma ini cuma memanfaatkan “trik”tukar posisi yang sudah pernah dibahas di awal-awal catatan khususnya ketika membahaskonsep eliminasi gauss.Satu lagi yang harus saya sampaikan juga adalah bahwa dalam algoritma ini, elemenelemenmatrik L dan matrik U digabung jadi satu dan menggantikan seluruh elemen-elemenmatrik A. Perhatian! cara ini jangan diartikan sebagai perkalian matrik L dan matrik U menjadimatrik A kembali. Cara ini dimaksudkan untuk menghemat memori komputer. Suatu aspekyang tidak boleh diabaikan oleh para programer. Marilah kita simak algoritmanya bersamasama!INPUT: dimensi n; nilai elemen a ij , 1 ≤ i, j ≤ n; nilai elemen b i .OUTPUT: solusi x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n atau pesan kesalahan yang mengatakan bahwa faktorisasitidak mungkin dilakukan.