Komputasi untuk Sains dan Teknik - Universitas Indonesia

64 BAB 4. METODE LU DECOMPOSITIONLangkah berikutnya adalah menentukan vektor y, dimana Ly = b,⎡⎤⎡⎤ ⎡1 0 0 0 y 12 1 0 0y 2⎢⎣ 3 4 1 0⎥⎢⎦⎣y⎥3 ⎦ = ⎢⎣−1 −3 0 1 y 4⎤41−3⎥⎦4Dengan proses substitusi-maju, elemen-elemen vektor y dapat ditentukan,y 1 = 4,2y 1 + y 2 = 1,3y 1 + 4y 2 + y 3 = −3,−y 1 − 3y 2 + y 4 = 4maka diperoleh y 1 = 4, y 2 = −7, y 3 = 13, y 4 = −13.Langkah terakhir adalah proses substitusi-mundur untuk menghitung vektor x, dimana Ux =y,⎡⎤⎡⎤ ⎡1 1 0 3 x 10 −1 −1 −5x 2⎢⎣ 0 0 3 13⎥⎢⎦⎣x⎥3 ⎦ = ⎢⎣0 0 0 −13 x 4⎤4−713⎥⎦−13Melalui proses ini, yang pertama kali didapat solusinya adalah x 4 , kemudian x 3 , lalu diikutix 2 , dan akhirnya x 1 .x 4 = 1x 3 = 1 3 (13 − 13x 4) = 0x 2 = −(−7 + 5x 4 + x 3 ) = 2x 1= 4 − 3x 4 − x 2 = −1akhirnya diperoleh solusi x 1 = −1, x 2 = 2, x 3 = 0, dan y 4 = 1. Demikianlah contoh penyelesaiansistem persamaan linear dengan metode LU-decomposition.Sekali matrik A difaktorkan, maka vektor b bisa diganti nilainya sesuai dengan sistem persamaanlinear yang lain, misalnya seluruh nilai di ruas kanan diganti menjadiP 1 : x 1 + x 2 + 3x 4 = 8P 2 : 2x 1 + x 2 − x 3 + x 4 = 7P 3 : 3x 1 − x 2 − x 3 + 2x 4 = 14P 4 : −x 1 + 2x 2 + 3x 3 − x 4 = -7