Komputasi untuk Sains dan Teknik - Universitas Indonesia

24 BAB 2. METODE ELIMINASI GAUSSyang berukuran n x (n + 1) seperti berikut ini:⎡⎤ ⎡⎤a 11 a 12 . . . a 1n | b 1 a 11 a 12 . . . a 1n | a 1,n+1a 21 a 22 . . . a 2n | b 2⎢⎥⎣ . . . | . ⎦ = a 21 a 22 . . . a 2n | a 2,n+1⎢⎥⎣ . . . | . ⎦a n1 a n2 . . . a nn | b n a n1 a n2 . . . a nn | a n,n+1(2.4)Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir matrik augmentadalah nilai dari b i ; yaitu a i,n+1 = b i dimana i = 1, 2, ..., n.2. Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen pivotadalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitu a 11 , a 22 , ..., a nnatau disingkat a ii . Jika a ii ≠ 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemendiagonal yang bernilai nol, a ii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukarposisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (P i ) ↔ (P j ) dimana j = i + 1, i + 2, ..., n,sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol, a ii ≠ 0. (Kalau kurang jelas, silakan lihatlagi contoh kedua yang ada dihalaman 3. Sebaiknya, walaupun elemen diagonalnya tidak nol,namun mendekati nol (misalnya 0,03), maka proses pertukaran ini dilakukan juga).3. Proses triangularisasi. Lakukanlah operasi berikut:P j − a jia iiP i → P j (2.5)dimana j = i + 1, i + 2, ..., n. Maka matrik augment akan menjadi:⎡⎤a 11 a 12 a 13 . . . a 1n | a 1,n+10 a 22 a 23 . . . a 2n | a 2,n+10 0 a 33 . . . a 3n | a 3,n+1⎢. ⎣ . . . .. . | .⎥⎦0 0 0 0 a nn | a n,n+1(2.6)4. Hitunglah nilai x n dengan cara:x n = a n,n+1a nn(2.7)5. Lakukanlah proses substitusi-mundur untuk memperoleh x n−1 , x n−2 , ..., x 2 , x 1 dengancara:dimana i = n − 1, n − 2, ...,2, 1.x i = a i,n+1 − ∑ nj=i+1 a ijx ja ii(2.8)Demikianlan algoritma dasar metode eliminasi gauss. Selanjutnya algoritma dasar tersebutperlu dirinci lagi sebelum dapat diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman komputer.