G. Giunta, Lucidi del corso Elaborazione dei Segnali per ... - Comlab

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucido n. 19
Il teorema dei residui afferma che e' possibile espandere in fratti
semplici un quoziente proprio di polinomi nel modo seguente:
H(
x)
=
R(
x)
P(
x)
=
D
A k
x − x
+
∑ ∑ ∑
= = =
k
1
ove il polinomio P(x) ha P zeri (quindi V(x) ed H(x) hanno P
poli) di cui D distinti (xk) ed M multipli (xm) con molteplicita' S1,
S2, ..., SM, rispettivamente, con:
P = D +
k
M
m=
1
∑
S
m
M
m
1
S
n
m
1
( x
C
−
m n
mentre Ak eCmn sono i residui definiti dalle espressioni:
C
m n
=
( S
m
[ H(
x)
⋅(
x − x ] k)
x xk
A k =
=
1
−n
) !
⋅
⎨
⎧
d
d x
( S
m
( S
− n )
m
− n )
x
Sm
[ H(
x)
⋅(
x − x ) ]
⎩
Per utilizzare per il calcolo di antitrasformate-Z l'espansione in
fratti semplici, teste' illustrata in funzione di una generica
variabile complessa x, e' possibile considerare l'espressione nel
dominio trasformato come un rapporto di polinomi nella variabile
complessa z o, alternativamente, nella variabile complessa z-1.
Entrambe le vie risultano in generale proponibili. Tuttavia, al fine
di poter applicare direttamente le regole di antitrasformazione gia'
note ai diversi fratti semplici ottenibili con il metodo dei residui,
e' sovente consigliabile operare nella variabile complessa z-1.
k
m
⎫
⎭
⎬
)
n
x=
x
m