G. Giunta, Lucidi del corso Elaborazione dei Segnali per ... - Comlab

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.59
• predizione lineare ottima
Determiniamo i coefficienti {a i} con il criterio del minimo errore
quadratico medio (MSE), essendo MSE = E[|e(n)| 2]
condizione di minimo (per 1≤i≤N):
∂ MSE ∂ E
0 = = ∗
∂ a ∂ a
= E
i
[ ] 2
e(
n)
∗
= E[
x ( n − i)
e(
n)
]=
∗
i
N
∗
∗
{ x ( n − i)
x(
n)
} + a E{
x ( n − i)
x(
n − k)
}
k = 1
∑
per cui si ottengono le medesime equazioni di Yule-Walker:
R
xx
( i)
k
N
1
a
k
R
xx
( i −
k
k)
= 0
( per
1≤
i≤
N)
+∑ =
Sotto tale condizione di minimo l'MSE assume il valore:
σ
2
= min
= E
{ [ ] } 2
E e(
n)
= E [ x(
n)
− xˆ ( n)
]
∑ ∗ { x(
n)
e(
n)
} = R xx ( 0)
+
N
k=
1
{ e(
n)
} ∗
a
k
R
xx
( −k)
Osservazione: il filtro (di ordine N) dell'errore di predizione
su {x(n)} e' l'inverso del modello AR (di ordine N) di {x(n)}. E'
sempre a fase minima, dato che il suo inverso e' causale.
Osservazione: i coefficienti del predittore lineare ottimo della
serie {x(n)} di ordine N-1 sono IDENTICI a quelli del modello
AR di ordine N della stessa serie {x(n)}.