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G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.38 CAMPIONAMENTO DELLA TRASFORMATA Z E RELAZIONE CON LA TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER (DFT) La DFT e' strettamente legata alla trasformata Z sul cerchio unitario: N−1 X( K) x( n) e = X( z) 2π k = X( z) −k j z= N WN =∑ n= 0 ove e' stato definito: n k −j2π N W N = e 2π − j N z= e La DFT e' una versione campionata della trasformata Z. Infatti: = X( z) 1 N N−1 = N−1 x( n) z −n = N−1 n= 0 1 N N−1 ∑ n= 0 k= 0 ∑ ∑ X( k) N−1 ( W −k N z −1 X( k) 1− z = N −N W N−1 ∑ ∑ ∑ k= 0 n= 0 k= 0 ) n −kn N z −n = X( k) 1− W z che costituisce il TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO DELLA TRASFORMATA Z. −k N −1
G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.39 Sul cerchio unitario la relazione precedente diviene: 1− e X( k) ∑ − − jωN N 1 jω X( e ) = −k − jω N k= 0 1− WN e = ∑ − N 1 k= 0 2π X( k) psa( ω − k) n ove la funzione "periodica di campionamento" psa(•) e' definita come: psa( ω) = sin( Nsin ω N 2 ω ( 2 ) e ) N−1 − jω 2 Tale relazione tra i campioni della DFT e la pulsazione normalizzata ω e' nota come TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO IN FREQUENZA. In pratica, la funzione psa(ω) interpola i campioni della DFT effettuando una convoluzione (circolare) con un funzione periodica, ritadata nel tempo di meta' periodo avendo definito 0≤n≤N-1, che costituisce la versione periodata (come fosse aliasata nel tempo) del sinc(•). =
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