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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 7 - “La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero – parte 1” La seguente costruzione geometrica aiuta a capire con quale tipo di andamento diminuiscono i raggi delle infinite circonferenze che convergono verso il vertice C del triangolo equilatero: dati e considerazioni preliminari: AB = BC = CA = π ABC = BCA = CAB = = 60 3 ABC π CBH 1 = = = 30 = KCS 1 1 = CKS 2 1 2 6 Λ = T 2 ⋅ 3 4 35

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Considerazioni geometriche per il calcolo dei raggi: ⎛π ⎞ 3 r1 = C1H = ⋅ tan ( C1BH) = ⋅ tan ⎜ ⎟= 2 2 ⎝ 6 ⎠ 6 2 3 ( ) ( ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⋅ 3 r2 = C1S⋅tan K1C1S ⋅ tan C2K1S) = r1⋅ tan ⎜ ⎟ = ⋅ tan ⎜ ⎟ = ⎝ 6 ⎠ 2 ⎝ 6 ⎠ 18 r 3 ⋅ 5 π ⎞ ⋅ 3 ⎟ ⎠ 7 π ⎞ ⋅ 3 ⎟ ⎠ 2 n 1 π ⋅ + ⎛ = ⋅ tan ⎜ = 2 ⎝ 6 54 ⎛ r4 = ⋅ tan ⎜ = 2 ⎝ 6 162 ............ ⎛ ⎞ rn = ⋅tan ⎜ ⎟ con n∈N 2 ⎝ 6 ⎠ calcolo dell’area degli infiniti cerchi: 2 1 2 ∞ ∞ 2 2 ∞ 2 ∞ 2 ⋅n ⋅ n+ −( 2⋅ n+ 1 ⎛ ⎞ ⎛ ) ⎞ ⎛π ⎞ ⋅3 π ⋅ ⎛ 1 ⎞ π ⋅ ⎛1⎞ Λ C = π ⋅∑ ⋅ tan = π ⋅ = ⋅ = ⋅ ⎜ ⎜ ⎟ 2⋅ n+ 1 n= 0 2 6 ⎟ ∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ n= 0 4 ⎟ ∑ ∑ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 n= 0⎝3 ⎠ 12 n= 0⎝3⎠ poiché (essendo una serie geometrica): ∞ ik kn a kn a r ⋅ ⋅ ∞ ⋅ ⋅ ∑a⋅ r = o più in generale: a r k ∑ ⋅ = k n= 0 1−r n= i 1−r ⎧a ∈ ⎪ con ⎨ − 1 < r < 1 ⎪ ⎩k > 0 2 ⎧ π ⋅ ⎪a = ⎪ 12 ⎪ 1 in questo caso ⎨r = ⎪ 3 ⎪ k = 2 ⎪ ⎩ quindi, l’area occupata dagli infiniti cerchi è: 2 3⋅π ⋅ Λ C = 0,2946⋅ 32 2 area % occupata dagli infiniti cerchi rispetto all’intero triangolo equilatero: 2 3⋅π ⋅ 100⋅ 100⋅ΛC 32 25⋅π ⋅ 3 Λ C % = = = 68% 2 ΛT ⋅ 3 2 4 36

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