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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 8 - “La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero – parte 2” Analogamente all’indovinello precedente (n° 7), si imposta la sommatoria per il calcolo dell’area degli infiniti cerchi: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Λ C = π ⋅ ⎜ + ⋅ ⎟= π ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = π ⋅ + ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 1 2 ∞ ∞ ⋅ n+ 2 2 2⋅n 2 2 π ⎛ π ⎞ ⎛ ∞ 3 1 r1 3 r ⎜ ⎛ ⎞ n 1 tan 3 tan ⎟ ⋅ ∑ + ⎜ ⎜ ⎟ n= 1 2 6 ⎟ ∑⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ n= 1 2 ⎝ 6 ⎠ ⎟ 12 12 n= 1⎝3 ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⋅ 2 11⋅π Λ C = 0,3599⋅ 96 area % occupata dagli infiniti cerchi rispetto all’intero triangolo equilatero: 2 11⋅π ⋅ 100⋅ 100⋅ΛC 96 11⋅π ⋅ 3 Λ C % = = = 83% 2 ΛT ⋅ 3 72 4 ⎞ ⎟ ⎟⎠ 37

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 9 - “La convergenza dei cerchi in un quadrato” Analogamente all’indovinello n°7, si adotta una costruzione geometrica per capire con quale andamento diminuiscono i raggi delle infinite circonferenze, inscritte nel quadrato, mentre convergono nei quattro vertici. Dati e considerazioni preliminari: AB = BC = CD = DA = 2⋅r π KCH 1 1 1 = = 45 4 KCH 1 1 1 π = KCK 1 1 2 = KCH 2 1 1 = HKC 1 2 2 = = 22,5 2 8 π KK 1 2 = HK 1 2 = CK 1 1⋅ tan KCK 1 1 2 = r⋅ tan = r⋅ 2 −1 8 1 2 1 1 2 1 2 2 2 3 ( 2 1) ( 2 1) ( ) 4 6 2⋅ 2 1 n ( ) ( ) r = C H = H K ⋅ tan H K C = r⋅ 2 −1 r r .............. r n = r⋅ − = r⋅ − = r⋅ − 2 38

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