La_matematica_degli_indovinelli_3.0

“La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com
Indovinello 35 - “Se io avessi venduto tante uova come te... – Parte II”
Impostando l’equazione che fornisce il guadagno totale delle uova vendute da Alda e
Berta, si ha:
Z T
= u⋅ x+ w⋅
y
a cui vanno sostituiti i valori simbolici di x , y , u e w già calcolati nell’indovinello
precedente (n°34), cioè:
⎧ k⋅( P1⋅P2 −P2)
⎪x
=
⎪ P1−
P2
⎪
⎪ k⋅( P1⋅P2 −P1)
⎪y
=
⎨ P1−
P2
⎪
P1⋅ P2 + P
⎪
1
u =
⎪ k
⎪
⎪
P1⋅ P2 + P2
w =
⎪⎩ k
⎧P1 > P2 > 0
con: ⎨
⎩k
> 0
Per cui si ottiene, dopo alcuni passaggi, il guadagno totale delle uova vendute da Alda e
Berta in funzione delle due somme ricavate dalle ipotetiche vendite delle uova di Berta al
prezzo delle uova di Alda e viceversa:
Z P; P = 2⋅ P⋅
P
T
( )
1 2 1 2
Da notarsi che la somma delle uova vendute, cioè k , non influenza minimante la
poiché non compare nell’espressione appena calcolata. E’ facile verificare la correttezza di
quanto ottenuto sostituendo i valori numerici dell’indovinello precedente (n°34):
Z = u⋅ x+ w⋅ y = 0,3⋅ 40 + 0,2⋅ 60 = 24 €
Z
T
T
= 2⋅ P⋅ P = 2⋅ 18⋅ 8 = 24 €
1 2
Da cui:
ZT = u⋅ x+ w⋅ y= 2⋅ P1⋅
P2
In figura 1 e 2 vi è la rappresentazione grafica tridimensionale del guadagno complessivo
di Alda e Berta in funzione di P1
e P2
; più precisamente, la figura 1 è la rappresentazione
assonometrica dell’equazione, mentre in figura 2 tale equazione è disegnata mediante
curve di livello con una differenza di 2 (euro) tra una curva e l’altra (in pratica è la vista
dall’alto della fig.1). Assegnando i valori numerici dell’indovinello precedente (n°34), cioè
P1 = 18 e P2
= 8 , ricavo graficamente il guadagno complessivo delle due ovivendole (fig.2);
in oltre, tutti gli infiniti valori da assegnare a P1
e P2
affinché ZT
equivalga a 24 (euro)
giacciono sulla medesima curva di livello Z
T
= 24 .
La direzione in cui aumenta più rapidamente il guadagno totale delle uova vendute da
Alda e Berta, è data dal vettore gradiente:
∂Z
∂Z
P⋅P
∇ Z = + = +
T
( P P )
P⋅P
T T
1 2 1 2
1; 2
i j i j
∂P1 ∂P2 P1 P2
Z
T
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