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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Altrimenti, in forma numerica: ⎧x+ y = 100 ⎪u⋅ x= w⋅y ⎨ ⎪u⋅ y = 18 ⎪ ⎩w⋅ x= 8 8 18 18 8 3⋅x 3⋅x IV : w = ⇒ III : u = ⇒ II : ⋅ x = ⋅y ⇒ y = ⇒ I : x + = 100 ⇒ x = 40 x y y x 2 2 x= 40 ⇒ I : y = 100 −x⇒ y = 60 18 18 3 III : u = ⇒ u = = = 0,3 € y 60 10 8 8 1 IV : w = ⇒ w = = = 0,2 € x 40 5 ⎧x = 40 ⎪y = 60 ⎨ ⎪u = 0,3 ⎪ ⎩w = 0, 2 In alternativa, è più semplice sostituire i corrispondenti valori numerici di P1 e P2 nelle formule precedentemente calc olate, e determinare così direttamente i valori di x , y ,u e w , senza ricorrere alla risoluzione di un sistema non lineare a 4 equazioni e 4 incognite. In conclusione Alda ha portato 40 uova e le ha vendute a 0,3 € cadauna, mentre Berta ha portato 60 uova e le ha vendute a 0,2 € cadauna. Come si può facilmente verificare, Alda e Berta hanno guadagnato la stessa cifra di 12 € a testa per un totale di 24 €: u⋅x= w⋅y⇒0,3⋅ 40 = 0,2⋅60 ⇒ 12 = 12 83

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 35 - “Se io avessi venduto tante uova come te... – Parte II” Impostando l’equazione che fornisce il guadagno totale delle uova vendute da Alda e Berta, si ha: Z T = u⋅ x+ w⋅ y a cui vanno sostituiti i valori simbolici di x , y , u e w già calcolati nell’indovinello precedente (n°34), cioè: ⎧ k⋅( P1⋅P2 −P2) ⎪x = ⎪ P1− P2 ⎪ ⎪ k⋅( P1⋅P2 −P1) ⎪y = ⎨ P1− P2 ⎪ P1⋅ P2 + P ⎪ 1 u = ⎪ k ⎪ ⎪ P1⋅ P2 + P2 w = ⎪⎩ k ⎧P1 > P2 > 0 con: ⎨ ⎩k > 0 Per cui si ottiene, dopo alcuni passaggi, il guadagno totale delle uova vendute da Alda e Berta in funzione delle due somme ricavate dalle ipotetiche vendite delle uova di Berta al prezzo delle uova di Alda e viceversa: Z P; P = 2⋅ P⋅ P T ( ) 1 2 1 2 Da notarsi che la somma delle uova vendute, cioè k , non influenza minimante la poiché non compare nell’espressione appena calcolata. E’ facile verificare la correttezza di quanto ottenuto sostituendo i valori numerici dell’indovinello precedente (n°34): Z = u⋅ x+ w⋅ y = 0,3⋅ 40 + 0,2⋅ 60 = 24 € Z T T = 2⋅ P⋅ P = 2⋅ 18⋅ 8 = 24 € 1 2 Da cui: ZT = u⋅ x+ w⋅ y= 2⋅ P1⋅ P2 In figura 1 e 2 vi è la rappresentazione grafica tridimensionale del guadagno complessivo di Alda e Berta in funzione di P1 e P2 ; più precisamente, la figura 1 è la rappresentazione assonometrica dell’equazione, mentre in figura 2 tale equazione è disegnata mediante curve di livello con una differenza di 2 (euro) tra una curva e l’altra (in pratica è la vista dall’alto della fig.1). Assegnando i valori numerici dell’indovinello precedente (n°34), cioè P1 = 18 e P2 = 8 , ricavo graficamente il guadagno complessivo delle due ovivendole (fig.2); in oltre, tutti gli infiniti valori da assegnare a P1 e P2 affinché ZT equivalga a 24 (euro) giacciono sulla medesima curva di livello Z T = 24 . La direzione in cui aumenta più rapidamente il guadagno totale delle uova vendute da Alda e Berta, è data dal vettore gradiente: ∂Z ∂Z P⋅P ∇ Z = + = + T ( P P ) P⋅P T T 1 2 1 2 1; 2 i j i j ∂P1 ∂P2 P1 P2 Z T 84

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