Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

vedea în sectiunea urmǎtoare unele metode prin care se asigurǎ aceastǎgarantare.Sǎ revenim la propozitiile din lista de mai sus. Propozitia (3), “Sumaunghiurilor unui triunghi este egalǎ cu 180 de grade” este una din axiomele luiEuclid. Simplu, se postuleazǎ a fi adevǎratǎ. În realitate, ea este adevǎratǎnumai în geometria planǎ. Un triunghi asezat pe suprafata unei sfere poate faceaxioma evident falsǎ; relativitatea generalǎ spune cǎ spatiul însusi este curbat,astfel cǎ geometriile care violeazǎ axioma în discutie sunt în realitate mult mairealiste. Ca si în cazul mecanicii newtoniene, teoremele dezvoltate de Euclid (sidupǎ el utilizate de multe generatii de elevi) sunt adevǎrate numai într-ununivers idealizat, “plat”.Explicatii la figurǎ: (a) A implicǎ B dacǎ si numai dacǎ B este adevǎratǎ în oricelume în care A este adevǎratǎ. (b) Adǎugând axiome la A pentru a deveni A’ sereduce multimea de lumi posibile; figura aratǎ un caz în care aceasta permite luiA’ sǎ implice pe B.Când ne ocupǎm de propozitii pur matematice, situatia este putin diferitǎ:axiomele matematice sunt definitorii pentru lumea în discutie si nu o încercarede a o descrie. De pildǎ, axiomele lui Peano definesc ce este acela un numǎrnatural (un întreg nenegativ):0 este un numǎr naturalDacǎ n este un numǎr natural, s(n) este un numǎr naturalAici s(.) este functia succesor. Scriem uzual s(0) ca 1, s(s(0)) ca 2 s.a.m.d. Dinacest început simplu se pot definii multe alte notiuni – adunarea, multiplicarea,scǎderea, divizarea, numerele prime s.a.m.d. Teoremele din matematicǎ suntadevǎrate deoarece axiomele din matematicǎ sunt (uzual) adevǎrate prindefinitie (am adǎugat “uzual” deoarece uneori un set de axiome propus pentruun domeniu al matematicii se pot dovedi inconsistente – adicǎ contradictoriiîntre ele – si de aceea nu pot fi adevǎrate). Textele matematice vorbesc uzual dedemonstrarea adevǎrului sau falsitǎtii unei propozitii. Exprimarea este adesea oprescurtare din care lipseste “urmare a axiomelor standard” sau “inconsistentǎcu axiomele standard”. Vom face acelasi lucru dar cu încercarea de a avea grijǎa mentiona axiomele necesare. De ce? Mai întâi aceasta este o practicǎ bunǎdeoarece eliminǎ unele erori care apar accidental când se invocǎ o axiomǎ falsǎ;12