Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Asadar, prin principiul inductiei, ∀ n∈ N i = n(n + 1) / 2 .□Acest exemplu ilustreazǎ deplin principiul inductiei care trebuie respectataproape cu religiozitate. Exemplul ilustreazǎ tehnica obisnuitǎ pentru toatedemonstratiile prin inductie: propozitia P(n + 1) este reformulatǎ în fragmentecare provin direct din P(n), pentru care existǎ deja un rǎspuns, si un suplimentcare este combinat cu rǎspunsul pentru P(n) pentru a da un rǎspuns relativ laP(n + 1).Demonstratii exempluTeorema 2.2: ∀ n∈ N, n 3 – n este divizibil cu 3.Este util a defini mai precis sintagma “divizibil cu”. Se scrie a|b (a divide pe b,sau b este divizibil cu a) si definitia esteDefinitia 2.1 (divizibilitate): Pentru întregii a si b, a|b dacǎ si numai dacǎpentru un anume întreg q, b = aq.Ca si în exemplul precedent, definitia lui P se prelevǎ din teoremǎ; P(n) estepropozitia 3|(n 3 – n).Demonstratie: Demonstratia este prin inductie pe numerele naturale.• Cazul de bazǎ: demonstrarea propozitiei P(0).P(0) este propozitia 3|(0 3 – 0) sau 3|0, care este adevǎratǎ prin însǎsi definitiadivizibilitǎtii, cu q = 0• Pasul inductiv: se demonstreazǎ P(n) ⇒ P(n + 1) pentru orice n∈ N1. Ipoteza inductivǎ este 3|(n 3 – n) sau n 3 – n = 3q, cu q întreg.2. Demonstrarea propozitiei 3|((n + 1) 3 – (n + 1)), ceea ce se facearǎtând cǎ (n + 1) 3 – (n + 1) = 3r pentru un întreg r.3. Se re-exprimǎ cantitatea pentru n + 1 în functie de cantitatea pentrun (pentru care existǎ o formulǎ simplǎ) si se obtine succesiv(n + 1) 3 – (n + 1) = n 3 + 3n 2 + 3n + 1 – (n + 1) == (n 3 – n) + 3n 2 + 3n = 3q +3(n 2 + n) = 3(q + n 2 +n) = 3r4. Asadar, deoarece q si n sunt întregi, r este întreg si 3|((n + 1) 3 – (n +1)).Concluzia prin principiul inductiei: ∀ n∈ N, 3|(n 3 – n).□Din nou, trucul este a reduce P(n + 1) la P(n) si un fapt suplimentar este acelacǎ 3|3(n 2 + n). Uneori acest pas poate fi executat prin simpla manipularealgebricǎ constând în a extrage P(n) din P(n + 1); alteori trebuie înteles ceea cese produce în mod real la un nivel mai profund.Exemplul urmǎtor demonstreazǎ o inegalitate între douǎ functii de n; astfel deinegalitǎti sunt utile în stiinta calculatoarelor când se aratǎ cǎ un algoritm estemult mai eficient fatǎ de altul. De observat cǎ aici cazul de bazǎ este P(2) si nuP(0). Este o variantǎ evidentǎ a principiului inductiei în forma standard; sepoate porni cu orice întreg fixat pentru a arǎta cǎ toti întregii urmǎtori satisfacn∑i=125