Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Cazul de bazǎ este n = 1 si corespunde afirmatiei Pr[A] = Pr[A], ceea ce este unadevǎr trivial.În pasul inductiv, fie n > 1 si presupunerea (ipoteza inductivǎ) cǎn−1n−2Pr[ 1A ] = Pr[1]× Pr[2|1]× ... × Pr[− 1| ]i = iA A A AnAi=1 iAcum aplicǎm relatia de definitie a probabilitǎtii conditionate pentru douǎn−evenimente, A n si 1 Ai = 1 i , pentru a deduce cǎPr[ni = 1= Pr[ AnA ] =|in−1i = 1Pr[ A∩A ] =A ] × Pr[ A ] × Pr[ Ain1n−1i = 1iPr[ A2|A ] × Pr[| A ] × ... × Pr[ A1nn−1i=1in−1|n−1i = 1n−2i=1A ] =unde în ultima etapǎ s-a folosit ipoteza inductivǎ. Demonstratia este completǎ.□Teoremele 14.1 si 14.2 sunt cazuri speciale ale regulii produsului pentruevenimente independente.Secvente de încercǎriMulte experimente pot fi privite ca secvente de experiente simple sau deîncercǎri. În aceste cazuri, este mai natural a defini spatiul probabilistic întermeni de probabilitǎti conditionate, uzând de regula produsului. Ca o ilustrare,se considerǎ spatiul Ω al aruncǎrilor de n ori a unei monede cu defect, cazdiscutat în lectia anterioarǎ. Ω se poate scrie ca un produs Ω = Ω 1 xΩ 2 x…xΩ n , încare Ω i = {S, R} este spatiul aruncǎrii i a acelei monede (avem aici multimea n-tuplelor ordonate de rezultate ale aruncǎrilor succesive ale monedei).Cum se definesc probabilitǎtile în Ω? Punctele în spatiul Ω sunt n-tuplele ω =(ω 1 , ω 2 , …, ω n ) unde ω i∈ Ω i este rezultatul celei de a i aruncǎri. Utilizând regulaprodusului, trebuie sǎ aibǎ locPr[ω] = Pr[ω 1 ]xPr[ω 2 |ω 1 ]x…xPr[ω n |ω 1 , ω 2 , …, ω n–1 ]Astfel, dacǎ se definesc toate probabilitǎtile conditionate Pr[ω i |ω 1 , ω 2 , …, ω i–1 ],se defineste de fapt întreg spatiul probabilistic.Acum elementul cheie în acest exemplu este acela cǎ aruncǎrile monedei suntpresupuse independente astfel încât fiecare probabilitate conditionatǎ este exactaceea fǎrǎ conditionare. Ecutia de mai sus devinePr[ω] = Pr[ω 1 ]xPr[ω 2 ]x…xPr[ω n ]Asadar, probabilitatea unui punct ω din Ω este Pr[ω] = p r (1 – p) n–r , cu r numǎrulde steme în ω. Asa s-a si definit spatiul evenimentelor elementare în lectiaanterioarǎ, dar acum redefinirea are o bazǎ rationalǎ, o justificare: este oconsecintǎ inevitabilǎ a independentei aruncǎrilor monedei.Acum, câteva exemple.1. Aruncǎri de monedǎ. Aruncarea de trei ori a unei monede corecte. Fie Aevenimentul care constǎ în aparitia de trei ori a stemei. A = A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 , cuA i rezultatul “stemǎ” pentru fiecare din aruncǎri. AvemPr[A] = Pr[A 1 ]xPr[A 2 |A 1 ]xPr[A 3 |A 1∩ A 2 ] = Pr[A 1 ]xPr[A 2 ]xPr[A 3 ] = (1/2) 3 = 1/8iA ]i133