Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Definiţia 8.1 (combinǎri): C(n, k) este numǎrul de submulţimi distincte dedimensiune (cardinal) k extrase dintr-o mulţime de dimensiune (cardinal) n.De exemplu, C(4, 2) = 6 deoarece sunt 6 submulţimi de dimensiune 2 în oricemulţime de dimensiune 4. C(n, k) se pronunţǎ uneori ca “alege k din n”. Sedefineste imediat o cantitate înruditǎ, P(n, k):Definitia 8.2 (permutǎri): P(n, k) este numǎrul distinct de k-tuple ordonatedistinct estrase fǎrǎ înlocuire dintr-o multime de dimensiune n.Deosebirea principalǎ între P(n, k) si C(n, k) este aceea cǎ pentru P(n, k)conteazǎ ordinea, pentru C(n, k) nu conteazǎ ordinea. Este mai usor a obtinemai întâi o formulǎ pentru P(n, k):Teorema 8.1: Pentru orice numere naturale n, k astfel încât k ≤ n,n!P(n,k)=( n − k)!Demonstratie: Primul element al tuplului poate fi extras în n moduri, al doileaîn (n – 1) moduri si asa mai departe pânǎ la ultiul element care poate fi extras înn – k + 1 moduri. Asadar, P(n, k) = n(n – 1)…(n – k + 1) = n!/(n – k)!□Orice submultime de k elemente din n va apǎrea repetat în multimea depermutǎri cu k! ordonǎri diferite. Asadar, reazultǎ pentru C(n, k) formulaurmǎtoare:Teorema 8.2: Pentru orice numere naturale n, k astfel încât k ≤ n,n!C(n,k)=k!(n − k)!Se poate vedea, prin simetrie, cǎ are lor identitatea urmǎtoare:C(n, k) = C(n, n – k)Prin urmare, revenind la formula de mai sus pentru numǎrul de clauze generate,avem|KN(n,k)| = C(n, n – k + 1) + C(n, k + 1) = C(n, k – 1) + C(n, k + 1)În cazul cel mai nefericit, pentru un pǎtrat anumit, n = 8 si k = 4, ceea ceproduce |KN(8, 4)| = C(8, 3) + C(8, 5) = 112 clauze. Acest numǎr nu este preamare. Dar pentru restrictia globalǎ, pe o tablǎ de 8x8 cu 10 mine (un caz usor),se obitne |KN(64, 10)| = C(64, 9) + C(64, 11) = 771.136.366.336. Astfel, trebuiegândit un alt mod de a manipula restrictia globalǎ!Întâmplǎtor, nu este prea greu a demonstra existenta unei mǎrginiri inferioarepentru numerele cele mai mari C(n, k), pentru orice n dat.Teorema 8.3: Pentru un k oarecare, C(n, k) ≥ 2 n /(n + 1).Demonstratie: Se considerǎ suma dupǎ k a numerelor C(n, k). Aceasta estesuma numǎrului de submultimi de dimensiunea k, pentru toti k. Este tocmaitotalul numerelor de submultimi ale unei multimi de dimensiune n, care este 2 n ,adicǎn∑k = 0C(n,k)= 2n69