Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Lecţia 16Variabile aleatoare si mediiProblemǎ: Lucrǎrile de casǎ elaborate de 20 de sudenti sunt colectate,amestecate si returnate studentilor. Câti studenti primesc propria lor lucrare?Pentru a rǎspunde la acestǎ întrebare trebuie mai întâi precizat spatiul probelor:el ar trebui sǎ continǎ toate cele 20! permutǎri ale lucrǎrilor, fiecare cuprobabilitatea 1/20! (se aseamǎnǎ cu spatiul atasat pachetului de cǎrtiamestecat, cu deosebirea cǎ acolo se amestecau 52 de obiecte). E de folos aavea o imagine a unei permutǎri. Imaginati-vǎ 20 de cǎrti aliniate pe un raft,numerotate de la stânga la dreapta cu 1, 2, …, 20. O permutare π este o altǎordonare a cǎrtilor si, de fapt, o altǎ listǎ a numerelor lor citite de la stânga ladreapta. Sǎ notǎm π i eticheta numericǎ a cǎrtii din pozitia i. Ne intereseazǎnumǎrul de cǎrti care sunt încǎ în pozitia lor initialǎ, adicǎ numerele i pentrucare π i = i. Acestea sunt numite adesea puncte fixe ale permutǎrii.Desigur, întrebarea din introducere nu are un rǎspuns numeric simplu (de pildǎ6) deoarece numǎrul depinde de permutarea particularǎ aleasǎ (depinde depunctul-probǎ). Sǎ notǎm numǎrul de puncte fixe cu X. Pentru a face lucrurilemai simple, sǎ scǎdem pentru moment dimensiunea problemei de la 20 la 3.Tabelul care urmeazǎPermutarea π Valoarea lui X123 3132 1213 1231 0312 0321 1dǎ o listǎ completǎ a spatiului probelor (3! = 6) alǎturi de valorilecorespunzǎtoare ale lui X pentru fiecare punct. X ia valorile 0, 1 sau 3depinzând de punct. O cantitate ca aceasta, care ia o valoare numericǎ în fiecarepunct-probǎ este numitǎ variabilǎ aleatoare pe spatiul probelor.149