Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Lecţia 18Dispersia unei variabile aleatoareProblemǎ: La fiecare pas în timp al unei secvente de aruncǎri ale unei monedecorecte, dacǎ apare stema fac un pas la dreapta, dacǎ apare reversul fac un pasla stânga. Cât de departe este de asteptat a mǎ afla dupǎ n pasi?Notând pasul la dreapta cu +1 si pasul la stânga cu –1, se poate descrie unspatiu probabilistic alcǎtuit din toate cuvintele de lungime n pe alfabetul cudouǎ caractere {±1}, fiecare cuvânt cu probabilitatea 1/2 n . Fie variabilaaleatoare X pozitia relativ la punctul de plecare 0 dupǎ n deplasǎri. Astaînseamnǎ⎧ + 1 pentru aruncarea i = stemaX = X 1 + X 2 + … +X n cu X i= ⎨⎩ − 1 pentru aruncarea i = reversulEvident cǎ E(X) = 0. Cea mai directǎ si riguroasǎ cale de a demonstra aceastǎevidenţǎ constǎ în a calcula E(X i ) = (1/2)(+1) + (1/2)( –1) = 0. Din liniaritateamediei rezultǎ E(X) = 0 si dupǎ n pasi este de asteptat sǎ mǎ gǎsesc la 0. Daraceastǎ valoare nu este foarte plinǎ de informatie si lipsa se datoreazǎ faptuluicǎ deviatile pozitive si negative se compenseazǎ reciproc.Problema formulatǎ mai devreme poate sǎ însemne si altceva: care este mediavalorii |X|, distanta fatǎ de 0? Dar în loc de variabila aleatoare |X| care esteîntrucâtva greu de manipulat din cauza luǎrii modulului, se ia în considerareavariabila aleatoare X 2 . Si aceasta face din deviatiile de la pozitia 0 numere toatepozitive si dǎ o mǎsurǎ bunǎ a distantei parcurse, cu toate cǎ deoarece este odistanţǎ la pǎtrat, va fi necesar a lua în final rǎdǎcina pǎtratǎ.Sǎ calculǎm161