Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Σ. De exemplu, dacǎ Σ = {a, b}, atunci un sir poate fi o secventǎ de a-uri si deb-uri. Σ* noteazǎ multimea tuturor sirurilor posibile pe alfabetul Σ si includetotdeauna sirul vid, notat cu λ. Fiecare simbol din Σ este totodatǎ si un sir delungime 1. (Notǎ: aceastǎ proprietate distinge în particular sirurile de liste; darîn general, rationamentele asupra sirurilor sunt similare cu rationamenteleasupra listelor).Calea principalǎ de a construi siruri este concatenarea. Dacǎ s 1 si s 2 sunt siruri,concatenatul lor este tot un sir si este scris ca s 1 s 2 sau s 1 .s 2 dacǎ o sriere maiclarǎ reclamǎ eventual punctul. Concatenarea se defineste astefel:Axioma 4.1 (Concatenarea):∀ s∈ Σ* λ.s = s.λ = s∀ a∈ Σ ∀ s 1 , s 2∈ Σ* (a.s 1 ).s 2 = a.(s 1 .s 2 )Ceea ce a fǎcut Peano pentru numerele naturale, se face aici pentru a furnizaaxiome referitoare la siruri, apoi se va formula un principiu inductiv carepermite demonstratii pentru toate sirurile. Sirurile satisfac urmǎtoarele axiome:Axioma 4.2 (Siruri):Sirul vid este un sir: λ∈ Σ*Adǎugând un simbol la un sir se obtine un sir: ∀ a∈ Σ ∀ s∈ Σ* a.s∈ Σ*.Deoarece aceste axiome nu definesc strict sirurile, apare necesar un principiuinductiv pentru a construi demonstratii pe toate sirurile:Axioma 4.3 (inductia pe siruri):Pentru orice proprietate P,dacǎ P(λ) si ∀ a∈ Σ ∀ s∈ Σ* (P(s) ⇒ P(a.s)),atunci ∀ s∈ Σ* P(s)Aceasta este o instantǎ a inductiei structurale, unde un set de axiome definestemodul în care sunt construite obiectele dintr-o multime si cum un principiuinductiv utilizeazǎ repetat pasul de constructie pentru a acoperi întreguldomeniu. Aici, “.” este constructorul pentru domeniul de siruri, întocmai cum“+1” este constructorul pentru numerele naturale.De notat cǎ numerele nu apar nicǎieri în aceste axiome. Se pot face demonstratiigândind numai la obiectele în discutie. Sǎ definim acum o functie careinverseazǎ un sir si sǎ dovedim cǎ ea lucreazǎ corect.Axioma 4.4 (a inversǎrii):r(λ) = λ∀ a∈ Σ ∀ s∈ Σ* r(a.s) = r(s).aNe-ar plǎcea sǎ spunem ceva de genul “pentru fiecare sir s, r(s) este inversullui”. Pentru a face aceasta o teoremǎ precisǎ, este necesar un mod oarecare,independent, nerecursiv de a spune ce se întelege prin inversare! Sunt moduridiverse de a face aceasta dintre care cel mai usor este a uza de avantajul scrieriicu “puncte puncte”:Teorema 4.1: ∀ s∈ Σ* fie s = a 1 a 2 …a n ; atunci r(s) = a n …a 2 a 1 .Demonstratie: Demonstratia este prin inductie pe sirurile construite pealfabetul Σ. Fie P(s) propozitia conform cǎreia dacǎ s = a 1 a 2 …a n atunci r(s) =a n …a 2 a 1 .40