Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Lecţia 9Secvenţa de lecţii care urmeazǎ se referǎ la subiectul important al algoritmiloraritmetici. Se va dezvolta acest subiect pânǎ la întelegerea sistemului de criptareRSA cu cheie publicǎ.Primalitate si factorizareSǎ admitem cǎ se dǎ un numǎr – fie acela 307131961967 – si se cere rǎspunsulla întrebarea: este prim sau nu? Nu este prima datǎ când (vi) se pune o astfel deîntrebare. Cum se poate hotǎrî dacǎ un numǎr dat este prim?Existǎ, desigur, cel putin un algoritm pentru asta:algorithm prime(x)y:=2repeatif x mod y = 0 then return(false)y:=y+1until y=xreturn(true)Prin x mod y se întelege restul împǎrtirii întregi a lui x prin y, cu y nenul.Acest algoritm determinǎ corect dacǎ numǎrul natural x > 2 este prim. El esteimplementarea definitiei unui numǎr prim prin explorarea exhaustivǎ a tuturordivizorilor posibili, de la 2 la x – 1. Dar acesta nu este un algoritm de prea mareutilitate: el ar fi nepractic pânǎ si pentru exemplul relativ modest propus,numǎrul cu 12 cifre de mai sus si, cum vom vedea, criptografia modernǎ cere canumere cu câteva sute de cifre sǎ fie testate pentru primalitate. Algoritmulnecesitǎ un numǎr de pasi proportional cu x ceea ce nu este deloc bine.Un alt algoritm mai rapid:algorithm fasterprime(x)y:=2repeatif x mod y = 0 then return(false)y:=y+1until y*y≥xreturn(true)Acum e ceva mai bine. Algoritmul acesta verificǎ toti divizorii posibili pânǎ larǎdǎcina pǎtratǎ a lui x. Si asta este suficient, deoarece dacǎ x are un alt divizordecât 1 si el însusi, se ia în considerare cel mai mic dintre ei, fie acela y. Atunci,x = y.z, cu z un întreg care este tot un divizor al lui x diferit de 1 si de el însusi.Si întrucât y este divizorul cel mai mic, z ≥ y. Urmeazǎ cǎ y.y ≤ y.z = x si y nu77