Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

(În literaturǎ se scrie uneori ≡ în loc de = si partea cu mod m se pune întreparanteze). Aceste ecuatii se pot citi în douǎ moduri. Unul constǎ în luarea înconsiderarea a operatiilor aritmetice obisnuite care se încheie de fiecare datǎ culuarea valorii “mod m” atât pentru partea stângǎ cât si pentru partea dreaptǎ,înainte de verificare.Modul celǎlalt este ceva mai sofisticat. Dacǎ m este un întreg (de pildǎ 7), sedefineste o relatie între întregi: numerele x si y se zice cǎ sunt congruentemodulo m, scris x = y mod m, dacǎ si numai dacǎ ele diferǎ printr-un multiplu allui m, adicǎ x – y = k.m pentru un k întreg (posibil negativ). Într-o formularediferitǎ, x si y sunt congruente modulo m dacǎ au acelasi rest modulo m. Relatia“congruent modulo m” este o relatie de echivalentǎ: ea partitioneazǎ multimeaîntregilor în m clase de echivalentǎ 0, 1, 2, …, m – 1.Teorema 9.2. Dacǎ a = c mod m si b = d mod m atunci a + b = c + d mod m sia.b = c.d mod m.Demonstratie. Se stie cǎ c = a + k.m si d = b + l.m, asa cǎ c + d = a + b + (k +l).m, ceea ce însemanǎ a + b = c + d mod m. Demonstratia pentru produs estesimilarǎ (exercitiu).□Ce spune aceastǎ teoremǎ este cǎ orice expresie aritmeticǎ modulo m poate fitotdeauna redusǎ la un numǎr natural mai mic decât m. Ca exemplu, fie expresia(13 + 11).18 mod 7. Uzând de teorema 9.2 de mai multe ori se poate scriesuccesiv:(13 + 11).18 = (6 + 4).4 mod 7= 10.4 mod 7= 3.4 mod 7= 12 mod 7= 5 mod 7Recapitulând, se pot face totdeauna calcule modulo m prin reducerea modulo ma rezultatelor intermediare.ExponentiereaO operatie standard în algoritmii aritmetici (inclusiv verificarea primalitǎtii sicriptarea RSA) este ridicarea unui numǎr la o putere modulo un alt numǎr. Cualte cuvinte, cum se calculeazǎ x y mod m când x, y, m sunt numere naturale si m> 0? O tratare naivǎ ar consta în a calcula secventa x mod m, x 2 mod m, x 3 modm, …, pânǎ la termenul al y-lea, dar asta ar consuma un timp exponential înnumǎrul de biti în y. Aceeasi treabǎ se poate face mai bine dacǎ se utilizeazǎ“trucul” ridicǎrii la pǎtrat repetate.algorithm mod-exp(x, y, m)if y = 0 then return(1)elsez = mod-exp(x, y div 2, m)if y mod 2 = 0 then return(z*z mod m)else return(x*z*z mod m)81