Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Aici ε si δ sunt ca si altǎdatǎ eroarea doritǎ si respectiv nivelul de încredere.Dar de data aceasta nu se cunosc cele douǎ cantitǎti µ si σ 2 . Practic, seutilizeazǎ o valoare inferioarǎ pentru µ si o valoare superioarǎ pentru σ 2 (asacum s-a utilizat o valoare mai scǎzutǎ pentru p în problema sondajuluielectoral). Introducând aceste valori în ecuatie, ne asigurǎm cǎ dimensiuneasondajului este suficient de mare.De exemplu, în problema averii medii se poate lua în sigurantǎ un posibil µ de2.000 de dolari, poate chiar ceva mai mult. Totusi, existenta unor oameni ca IonŢiriac impune o dispersie σ 2 mare. Desigur, dacǎ existǎ cel putin o persoanǎ cuo avere de 1 milard de dolari, admitând o medie µ relativ micǎ, se impune odispersie de cel putin (10 9 ) 2 /(20x10 6 ) = 5x10 10 , cu populatia României de cca.20 de milioane (a se verifica). Totusi, aceastǎ persoanǎ contribuie la medie cunumai 10 9 /(20x10 6 ) = 50. Nu existǎ o cale simplǎ de a cuprinde aceastǎproblemǎ prin sondajul uniform: inegalitatea distribuirii averilor înseamnǎ cǎdispersia este inevitabil foarte mare si va fi necesar un numǎr urias de persoanechestionate înainte de a include în sondaj pe cineva imens de bogat. Dacǎ nusunt incluse astfel de persoane estimarea noastrǎ poate fi foarte joasǎ fatǎ demedia realǎ.Ca un exemplu suplimentar, sǎ admitem cǎ încercǎm o investigatie estimativǎasupra ratei medii de emisie a unei surse radioactive si sǎ-i asociem acesteia odistributie Poisson cu un parametru necunoscut λ. Evident, λ este media pe careîncercǎm s-o estimǎm. În acest caz media este µ = λ si σ 2 = λ (vezi lectiaanterioarǎ). Astfel, σ 2 /µ 2 = 1/λ. Aici o serie de observatii de dimensiunea n = 1/(λε 2 δ) este suficientǎ. Un exemplu similar este cel al numǎrului mediu decioburi de ciocolatǎ într-o prǎjiturǎ, cu eroarea relativǎ 0,1 si cu nivelul deîncredere de 95% si presupunând λ ≥ 4 (media este cel putin 4). Dimensiuneasuficientǎ a sondajului este de 500.Legea numerelor mariMetoda de estimare utilizatǎ în sectiunile anterioare este bazatǎ pe un principiuacceptat în viata de zi cu zi, legea numerelor mari. Aceasta afirmǎ cǎ, dacǎobservǎm o variabilǎ aleatoare în mai multe rânduri si calculǎm mediaobservatiilor atunci media va fi convergentǎ spre o valoare unicǎ, valoareamedie a variabilei aleatoare. Cu alte cuvinte, medierea are tendinta de a netezifluctuatiile mari si cu cât mai multe valori sunt utilizate în mediere cu atât maibunǎ este aceastǎ netezire.Teorema 19.2 (Legea numerelor mari): Fie X 1 , X 2 , …, X n variabile aleatoaren1i.i.d. cu media comunǎ µ = E(X i ). Se defineste An = ∑ X i . Atunci, pentrun i=1orice α > 0 avemPr[|A n – µ| ≥ α] → 0 pe mǎsurǎ ce n → ∞170