Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Acum se pot atribui probabilitǎti fiecǎrei punct al spatiului probelor. Depildǎ, punctul (1, 2, 3) corespunde plasǎrii premiului în spatele usii 1 (cuprobabilitatea 1/3), concurentul alege usa 2 (cu probabilitatea 1/3) si montydeschide usa 3 (cu probabilitatea 1 deoarece nu are altǎ alegere). Astfel1 1 1Pr[( 1,2,3)] = . .1 =3 3 9(Notǎ: Din nou se face produsul unor probabilitǎti fǎrǎ o justificare solidǎ).Sunt sase rezultate de tipul acesta, caracterizat prin i ≠ j (si cu k diferit deambele). Pe de altǎ parte avem1 1 1 1Pr[( 1,1,3)] = . . =3 3 2 18si sunt sase rezultate de acest tip, cu i = j. Acestea sunt toate rezultateleposibile, asa cǎ spatiul probabilistic este deplin definit. Pentru a verificaaritmetica noastrǎ, se face suma tuturor probabilitǎtilor care trebuie sǎ fie 1si este egalǎ cu 1.⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎜ 6 . ⎟ + ⎜ 6. ⎟ = 1⎝ 9 ⎠ ⎝ 18 ⎠EvenimenteÎn problema lui Monty, ne intereseazǎ probabilitatea ca premiul sǎ fie câstigatde concurent. Acesta nu este un rezultat unic (concurentul poate câstiga în maimulte moduri diferite) ci o multime de rezultate. De aici:Definita 13.3 (eveniment): Un eveniment A din spatiul Ω este oricesubmultime A ⊆ Ω.Cum trebuie definitǎ probabilitatea unui eveniment A? Natural, trebuie adunateprobabilitǎtile punctelor spatiului Ω cuprinse în A.Definitia 13.4 (probabilitatea unui eveniment): Pentru orice eveniment A ⊆Ω, probabilitatea se defineste caPr[ A]= Pr[ω ]∑ω ∈ AO privire asupra unor exemple recoltate din spatiile probabilistice exemplificatemai devreme.1. Moneda corectǎ. Fie A evenimentul “la aruncare rezultǎ stema”. Pr[A] =1/2.2. Trei monede corecte. Fie A evenimentul în care cele trei monende afiseazǎaceeasi fatǎ. În acest caz, Pr[A] = Pr[SSS] + Pr[RRR] = 1/8 +1/8 = 1/4.3. Monede cu defect. Fie A acelasi eveniment ca în exemplul anterior. În acestcaz diferit, Pr[A] = Pr[SSS] + Pr[RRR] = 8/27 +1/27 = 1/3. Ca un al doileaexemplu, fie B evenimentul în care sunt exact douǎ steme. Se stie cǎprobabilitatea oricǎrui rezultat cu douǎ si numai douǎ steme este (2/3) 2 .(1/3)2= 4/27. Câte asemenea rezultate sunt în total? Sunt C = 33 moduri de aalege ordinea stemelor si aceste alegeri epuizeazǎ complet specificarea125