Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

(a) Graf care aratǎ conectivitatea variabilelor din figura (a).(b) Graful pentru figura (b)Lema 8.1: Dacǎ douǎ expresii booleene A si B sunt deconexate, atunci A ∧ Beste posibil-a-fi-satisfǎcutǎ dacǎ si numai dacǎ A este posibil-a-fi-satisfǎcutǎ siB este posibil-a-fi-satisfǎcutǎ.Demonstratie: Fie X A variabilele lui A si X B variabilele lui B.( ⇒ ): Se aratǎ cǎ dacǎ A ∧ B este posibil-a-fi-satisfǎcutǎ, atunci A este posibil-afi-satisfǎcutǎsi B este posibil-a-fi-satisfǎcutǎ. Fie M AB un model pentru A ∧ B.Atunci A este adevǎratǎ în M AB si B este adevǎratǎ în M AB . Fie M A submultimeadin M AB care specificǎ variabilele din A si M B submultimea similarǎ pentru B.Deoarece A si B nu au în comun vreo variabilǎ, A trebuie sǎ fie adevǎratǎ în M Asi B în M B ; asadar A si B sunt posibil-a-fi-satisfǎcute.( ⇐ ): Se aratǎ cǎ dacǎ A este posibil-a-fi-satisfǎcutǎ si B este posibil-a-fisatisfǎcutǎ,atunci A ∧ B este posibil-a-fi-satisfǎcutǎ. Fie M A un model pentru Asi M B un model pentru B. Se defineste M AB = M A ∪ M B . Dacǎ A este adevǎratǎ înM A atunci este adevǎratǎ în M AB ; similar pentru B. Asadar A ∧ B este adevǎratǎîn M AB , astfel încât A ∧ B este posibil-a-fi-satisfǎcutǎ.□Din lemǎ, urmeazǎ direct teorema care intereseazǎ:Teorema 8.7: Fie C o expresie CNF; fie C 1 si C 2 expresii CNF astfel încât (1)C 1 si C 2 nu au variabile comune si (2) reuniunea clauzelor din C 1 si C 2 produceexact clauzele din C. Atunci, pentru orice propozitie A, C |= A dacǎ si numaidacǎ C 1 |= A sau C 2 |= A.Acel “dacǎ si numai dacǎ” este aici foarte important. Implicatia ⇐ esteevidentǎ: rezultǎ simplu ca o aplicaţie a monotoniei. Ea se menţine chiar dacǎsubmulţimile au variabile comune! Astfel, orice pǎtrat care este garantat în ceeace priveste orice submultime de restrictii este de asemenea garantat în raport cutoate restricţiile; astfel, o cale de a face eficientǎ investigarea completitudinii74