Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

care tinde cǎtre λ pe mǎsurǎ ce n creste foarte mult. De aici, pentru n suficientde mare, p 1 = λe –λ .Pentru evaluarea lui p 2 , avem succesiv2n−22 ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞Cn⎜ ⎟ ⎜ 1 − ⎟p2 ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ n − 1 λ 1 n − 1 λ= ==n−1p1λ ⎛ λ ⎞ 2 n λ n − λ 2n ⎜ 1 − ⎟1 −n ⎝ n ⎠ncare tinde cǎtre λ/2 odatǎ cu n → ∞. Astfel, pentru n mare, probabilitatea p 22λ − λeste practic e .2O procedurǎ similarǎ, trecând prin evaluarea raportului p i /p i–1 produce succesivin−ii ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞Cn⎜ ⎟ ⎜ 1 − ⎟pi⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ n − i + 1 λ n n − i + 1 λ= ==i − 1n−i + 1pi−1i n n λ n λ ii ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞−−− 1Cn⎜ ⎟ ⎜ 1 − ⎟⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠Expresia ultimǎ tinde cǎtre λ/i odatǎ cu n → ∞. De aiciiλ − λpi→ e dacǎ n → ∞i!(cititorul ar trebui sǎ verifice aceasta) adicǎ atunci când n este mare fatǎ de i,probabilitatea ca exact i bile sǎ cadǎ în cutia 1 este foarte apropiatǎ de limitadatǎ în ultima expresie. Acest fapt motiveazǎ definitia care urmeazǎ.Definitia 17.3 (distributia Poisson): O variabilǎ aleatoare X pentru careiλ − λPr[ X = i]= e pentru i = 0, 1, 2, …i!este o variabilǎ aleatoare cu o distributie Poisson cu parametrul λ.Pentru a verifica dacǎ aceastǎ definitie este validǎ, trebuie verificatǎ sumaprobabilitǎtilor Pr[X = i] pentru toate valorile i posibile, sumǎ care trebuie sǎ fieegalǎ cu 1. Într-adevǎr∞ i∞ iλ − λ− λ λ− λ λ∑ e = e ∑ = e e = 1i=0 i! i = 0 i!S-a utilizat în etapa a doua o serie Taylor cu suma binecunoscutǎ.Care este media acestei variabile aleatoare? Un calcul simplu conduce la∞∞ i∞ i∞ i − 1λ − λ− λ λ− λ λ− λ λE(X) = ∑ i Pr[ X = i]= ∑ i e = e ∑ i = λ e ∑= λ e e = λi=0 i=0 i!i = 0 i!i = 1 ( i − 1)!Asadar, media variabilei aleatoare X distribuite poissonian cu parametrul λ esteE(X) = λ.O reprezentare graficǎ a distributiei Poisson în functie de i care parcurgemultimea numerelor naturale, evidentiazǎ o crestere, atingerea unui maxim si159