Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

potriveste si ea ecuatiilor, dar si x = 12 + 70 si x = 12 + 105 s.a.m.d. Evident,adunând orice multiplu de 35 la o solutie se obtine o altǎ solutie validǎ, astfel cǎputem scrie rezumativ cǎ x ≡ 12 (mod 35) este o solutie a sistemului de ecuatiidat.Dar mai sunt si alte solutii? Pentru acest exemplu nu existǎ o altǎ solutie;fiecare solutie este de forma x ≡ 12 (mod 35). Dar de ce nu? Dacǎ admitemexistenta unei alte solutii x’, atunci din prima ecuatie se stie cǎ x ≡ 2 (mod 5) six’ ≡ 2 (mod 5) si de aici x ≡ x’ (mod 5). Similar x ≡ x’ (mod 7). Dar primacongruentǎ spune cǎ 5 este un divizor al diferentei x – x’, din a doua rezultǎ cǎsi 7 este un divizor al diferentei x – x’, astfel cǎ x – x’ trebuie sǎ fie un multiplude 35 (s-a utilizat aici faptul cǎ gcd(5, 7) = 1), care înseamnǎ x ≡ x’ (mod 35).Cu alte cuvinte toate solutiile sunt aceleasi modulo 35: sau, echivalent, dacǎ totce ne preocupǎ este x mod 35, solutia este unicǎ.Puteti verifica: aceleasi lucruri sunt adevǎrate dacǎ se înlocuiesc numerele 5, 7,2, 5 cu oricare altele. Singurul lucru impus a fost ca gcd(5, 7) = 1.Iatǎ generalizarea:Teorema 11.1: (Teorema restului chinezesc) Fie m, n relativ prime si fie a, barbitrare. Perechea de ecuatii x ≡ a (mod m), x ≡ b (mod n) are o solutie unicǎ înx mod mn.Mai mult, solutia x poate fi calculatǎ eficient (ca exercitiu, cititorul poateverifica modul de a face calculul).Teorema restului chinezesc este utilǎ adesea când se face aritmeticǎ modularǎcu un modul compus; dacǎ dorim sǎ calculǎm o valoare necunoscutǎ modulomn, un truc standard este a o calcula modulo m, de a o calcula modulo n si apoia deduce valoarea ei modulo mn utilizând teorema restului chinezesc (CRT –Chinese remainder theorem).Teorema lui EulerÎn lectia anterioarǎ am vǎzut mica teoremǎ a lui Fermat, care spune ceva desprece se întâmplǎ cu exponentierea când modulul este prim. Putem generaliza cuusurintǎ la cazul când se lucreazǎ cu modulo un produs de douǎ numere prime.Teorema 11.2: Fie p, q douǎ numere prime distincte. Fie n = pq. Atuncinumǎrul x (p – 1)(q – 1) ≡ 1 (mod n) pentru orice x care satisface conditia gcd(x, n) =1.Demonstratie: Mai întâi sǎ reducem modulo p ambele pǎrti ale congruentei dinenunt (este permis deoarece p divide pe n). Gǎsim cǎx (p – 1)(q – 1) ≡ (x (p – 1) ) (q – 1) ≡ (1) (q – 1) ≡ 1 (mod p)unde s-a folosit mica teoremǎ a lui Fermat pentru a conchide cǎ x p – 1 ≡ 1 (modp). Similar avem x (p – 1)(q – 1) ≡ 1 (mod q). Se obtine un sistem de douǎ ecuatiix (p – 1)(q – 1) ≡ 1 (mod p)x (p – 1)(q – 1) ≡ 1 (mod q)De retinut cǎ gcd(p, q) = 1. Asadar, dupǎ teorema restului chinezesc, trebuie sǎexiste o solutie unicǎ pentru x (p – 1)(q – 1) mod pq. Se poate vedea cǎ x (p – 1)(q – 1) ≡ 192