Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Aceasta poate fi interpretatǎ astfel: fiecare bilǎ este o aruncare de monedǎmǎsluitǎ: “stema” ar corespunde bilei care aterizeazǎ în cutia 1, “reversul” fiindasociat cu celelalte rezultate. Probabilitatea “stemei” este 1/n si aruncǎrilemonedei sunt mutual independente. Cum s-a vǎzut în lectiile anterioare, (6) dǎprobabilitatea ca exact j rezultate “stemǎ” sǎ aparǎ în n aruncǎri.Astfel se obtinennj ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞Pr[ X1≥ k]= ∑ Pr[ X1= j]= ∑ Cn⎜ ⎟ ⎜ 1 − ⎟ (7)j = kj = k ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠Acum, într-un anume sens am isprǎvit: trebuie numai sǎ introducem valori k =1, 2, … în (7) pânǎ când probabilitatea scade sub 1/2n. Cu toate acestea, ca înexemplul hashing, ar fi mult mai util a face relatia (7) mai imediatǎ, capabilǎ aoferi valori k mai direct. Pentru a face aceasta se înlocuieste ecuatia exactǎ (7)cu o aproximare obtinutǎ din limitarea reuniunii: se va vedea cǎ aceastǎaproximare este destul de bunǎ în practicǎ.Fie B evenimentul “X 1 ≥ k” si pentru fiecare submultime S ⊆ {1, 2, …, n} deexact k bile, fie B S evenimentul care constǎ în cǎderea tuturor bilelor în cutia 1.Clar, B este reuniunea evenimentelor B S deoarece B se produce dacǎ si numaidacǎ cel putin unul din evenimentele B S se produce. Astfel, utilizând din noulimitarea reuniunii se poate scrie[ B ] ≤ ∑jn−jPr[ X1≥ k]≡ Pr[ B]= Pr S SPr[ B S](8)Ce este Pr[B S ]? Ei bine, pentru orice S este tocmai probabilitatea ca un setparticular de k bile sǎ cadǎ în cutia 1, ceea ce este exact (1/n) k . Si numǎrul deasemenea seturi este C . Astfel, suma din (8) poate fi scrisǎknk ⎛ 1 ⎞Pr[ X1≥ k]≤ ∑ Pr[ BS] = Cn⎜ ⎟ (9)S⎝ n ⎠Cu aceastǎ expresie este mult mai simplu de lucrat decât cu suma din ecuatia(7).kSingurul lucru deranjant rǎmas în ecuatia (9) este coeficientul binomial Cn . Cuacesta se poate lucra mai usor prin utilizarea aproximǎriicare dǎkkSkkk⎛ n ⎞⎜ ⎟⎝ k ⎠≤Ckn≤k⎛ ne ⎞⎜ ⎟⎝ k ⎠⎛ ne ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ e ⎞Pr[ X1≥ k]≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ (10)⎝ k ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ k ⎠kParantezǎ: aproximarea de mai sus pentru Cn face parte din bagajul de trucurimatematice pe care-l poartǎ matematicienii si specialistii în stiintacomputerelor; nu este dificil a dovedi mǎrginirea inferioarǎ; mǎrginireasuperioarǎ este ceva mai încurcatǎ si face uz de altǎ aproximare pentru n!cunoscutǎ ca aproximarea lui Stirling care spune cǎ factorialul lui k este maimare sau egal fatǎ de (k/e) k ; detaliile nu se dau aici. Sfârsit de parantezǎ.145