Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

More documents

Recommendations

Info

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Listarea în continuare a acestei familii de propozitii devine repede o povarǎ,nemaivorbind de isprǎvirea la un moment dat a literelor alfabetului. Asadar,este util a avea notiunea de “o functie care fiind dat un numǎr natural n produceo propozitie care spune ceva despre n”. Un nume standard pentru aceasta estecel de predicat.Un predicat P este o functie care aplicǎ fiecare valoare n pe o propozitie P(n)care depinde de n într-un mod anume.De pildǎ, în exemplul de mai sus se poate defini un predicat P caP(n) = “n 2 + n + 41 este numǎr prim”P(17) actioneazǎ ca o sciere prescurtatǎ pentru: “17 2 + 17 + 41 este un numǎrprim”. Este o modalitate eficace de a grupa o colectie numeroasǎ, chiar infinitǎde propozitii.De observat cǎ dacǎ P este un predicat, dacǎ el este adevǎrat sau fals depinde devaloarea lui n. P(17) ar putea fi adevǎratǎ dar P(18) ar putea fi falsǎ. Pentruorice valoare particularǎ n, P(n) este o propozitie care este fie adevǎratǎ fiefalsǎ.Desigur, putem aplica si predicatelor operatorii logici standard. De pildǎ, dacǎP(n) si Q(n) sunt predicate, atunci P(n) ∨ Q(n) noteazǎ un predicat care esteadevǎrat pentru acele valori ale lui n pentru care fie P(n) este adevǎrat, fie Q(n)este adevǎrat.CuantificatoriIntroducem acum încǎ vreo câteva notatii. Sǎ rescriem propozitia (4) sub forma(4) ∀ n . n 2 + n + 41 este numǎr primSimbolul ∀ este cuantificatorul universal; aici, el se referǎ la variabila n siînseamnǎ “pentru orice n…”. Strict vorbind, propozitia ar trebui scrisǎ(4) ∀ n∈ N . n 2 + n + 41 este numǎr primcu N multimea numerelor naturale. Aceastǎ clarificare suplimentarǎ este adeseaomisǎ când contextul o face cât de cât evidentǎ.În general, dacǎ P este un predicat, atunci ∀ n∈ N . P(n) este o propozitie careeste fie adevǎratǎ, fie falsǎ.Cum se poate demonstra o afirmatie cuantificatǎ universal? Se poate constata cǎeste adevǎratǎ pentru multe cazuri: n = 0, n = 1 s.a.m.d. pânǎ la n = 39.Constiuie asta o demonstartie? Desigur, nu! Propozitia e falsǎ deoarece 40 2 + 40+ 41 nu este numǎr prim. Altfel spus, P(40) este falsǎ. Cazul n = 40 este numitun contraexemplu pentru aceastǎ propozitie.Propozitia (5) de mai sus este ultima dintre teoremele lui Fermat. Estecunoscutǎ de 300 de ani si tot de 300 de ani este numitǎ teoremǎ deoareceFermat a revendicat o demonstratie si nu a fost gǎsit nici un contraexemplu. Darnumai recent ea a devenit o teoremǎ propriu-zisǎ când Andrew Wiles adezvoltat o demonstratie realǎ (lungǎ de câteva sute de pagini).14
Propozitia (6) este conjectura lui Goldbach. O conjecturǎ este o propozitie carenu a fost nici demonstratǎ, nici contrazisǎ. Utilizând notatia cu cuantificatori, ease scrie∀ n . dacǎ n este par atunci ∃ a, b astfel încât a si b sunt prime si a + b = nAici, ∃ este cuantificatorul existential, care înseamnǎ “pentru un…” sau“existǎ…”. Pentru orice n particular, afirmatia cuantificatǎ existential poate fidemonstratǎ simplu prin gǎsirea unor numere a si b particulare, dar, desigur,cuantificarea universalǎ pentru n nu permite demonstrarea prin generarea deexemple. Ea poate fi însǎ infirmatǎ prin producerea unui singur contraexemplu,dar nici unul nu a fost gǎsit în ciuda verificǎrilor pânǎ la valori enorme ale lui n;conjectura e suspectǎ de a fi adevǎratǎ.Cineva ar putea spune: “Sigur, ceva atât de simplu s-ar cǎdea a fi usor dedemonstrat!” Dar ultima teoremǎ a lui Fermat s-a dovedit (deocamdatǎ) a aveao demonstratie foarte complicatǎ; teorema faimoasǎ a lui Kurt Gödel despreincompletitudine a arǎtat cǎ existǎ propozitii adevǎrate care nu au demonstratiiîn aritmeticǎ. Din nefericire nu existǎ vreo cale de a spune cǎ acea conjecturǎ alui Goldbach este una de acest gen (teorema incompletitudinii a lui Gödel nueste în general o scuzǎ valabilǎ pentru inabilitatea de a face o demonstratierelativ la o problemǎ din temele de casǎ…).În genral, dacǎ P este un predicat, atunci propozitia ∃ n∈ N.P(n) poate fidemonstratǎ printr-un unic exemplu de n care face ca P(n) sǎ fie adevǎratǎ, darinfirmarea ei reclamǎ a arǎta cǎ P(n) este falsǎ pentru toate numerele n.Comparativ, demonstrarea cǎ ∀ n∈ N.P(n) este adevǎratǎ cere a arǎta cǎ P(n)este adevǎratǎ pentru orice n, pe când infirmarea ei poate fi fǎcutǎ prin gǎsireaunui singur contraexemplu, adicǎ a unui n pentru care P(n) este falsǎ.O propozitie cuantificatǎ universal este foarte asemǎnǎtoare unei conjunctii mailungi. De pildǎ, se defineste o multime S = {1, 2, 3, 4}. Atunci, propozitia ∀ x∈ S.P(x) este echivalentǎ cu propozitia P(1) ∧ P(2) ∧ P(3) ∧ P(4). Analog,propozitiile cuantificate existential sunt mai asemǎnǎtoare unei disjunctii mailungi si ∃ xS∈ .P(x) echivaleazǎ cu P(1) ∨ P(2) ∨ P(3) ∨ P(4).S-a vorbit deja prea mult despre propozitii si demonstratii. Sǎ trecem la modulcum se pot verifica, demonstra propozitiile.Demonstratia prin enumerareÎncepem cu o metodǎ foarte simplǎ de a demonstra propozitii bazatǎ pe definitiaurmǎrii, consecintei logice (logical entailment). Se considerǎ urmǎtorulexemplu extrem de simplu:Se dǎ: trandafirii sunt rosii şi violetele sunt albastreDemonstratie: trandafirii sunt rosiiAcest fapt este “evident corect” din cauza semnificatiei lui “şi”. O propozitie“P şi Q”, care în notatie matematicǎ se scrie P ∧ Q, este adevǎratǎ numai dacǎ Peste adevǎratǎ si Q este adevǎratǎ. Astfel, semnul “ ∧ ” poate fi privit ca un15
Page 5 and 6: C U P R I N SLecţia 1 9Scopul curs
Page 7: Probabilitǎti conditionate. Evenim
Page 11 and 12: Este foarte important a observa cǎ
Page 13: în al doilea rând se relevǎ posi
Page 17 and 18: Demonstratii prin aplicarea de regu
Page 19 and 20: Demonstratie: Se va demonstra contr
Page 21 and 22: este a presupune opusul, contrarul
Page 23 and 24: Lecţia 2Aceastǎ lectie acoperǎ s
Page 25 and 26: Asadar, prin principiul inductiei,
Page 27 and 28: 3. Pentru fiecare set de n + 1 iMac
Page 29 and 30: Teorema 2.5: ∀ n∈ N, orice regi
Page 31 and 32: Lecţia 3Aceastǎ lectie acoperǎ a
Page 33 and 34: • Pasul inductiv: se demonstreaz
Page 35 and 36: P(n) este falsǎ. Prin definitie st
Page 37 and 38: Teorema 3.6: Pentru orice numǎr na
Page 39 and 40: Lecţia 4Aceastǎ lectie completeaz
Page 41 and 42: • Cazul de bazǎ: demonstratia pe
Page 43 and 44: Teorema 4.3: Pentru orice arbore t,
Page 45 and 46: 1. Ipoteza inductivǎ aratǎ cǎ pe
Page 47 and 48: Lecţia 5Divide-et-impera si merges
Page 49 and 50: a obtine o versiune sortatǎ a list
Page 51: fiecare nivel? La nivelul rǎdǎcin
Page 54 and 55: Pentru orice proprietate P, dacǎP(
Page 56 and 57: suficiente). Aceastǎ argumentatie
Page 58 and 59: metodele de a reduce dimensiunea ac
Page 60 and 61: ∧ si ∨ , ceea ce se constatǎ p
Page 62 and 63: Jocul MinesweeperRegulile jocului M
Page 64 and 65:
• Existǎ exact o minǎ rǎmasǎ.
Page 66 and 67:
Ca exerciţiu, a se încerca demons
Page 68 and 69:
U(k, n) înseamnǎ cǎ cel mult k d
Page 70 and 71:
Acum, suma contine n + 1 termeni, a
Page 72 and 73:
Teorema 8.6: Pentru orice propoziti
Page 74 and 75:
(a) Graf care aratǎ conectivitatea
Page 77 and 78:
Lecţia 9Secvenţa de lecţii care
Page 80 and 81:
• y ≤ x/2. Atunci primul argume
Page 82 and 83:
Acest algoritm utilizeazǎ faptul c
Page 84 and 85:
else(d, a, b) := extended-gcd(y, x
Page 86 and 87:
Teorema 10.1 sugereazǎ un test de
Page 89 and 90:
Lecţia 11Criptografie si RSACripto
Page 91 and 92:
gǎseascǎ x-ul corect - dar asta i
Page 93 and 94:
(mod pq) este una din solutiile pos
Page 95 and 96:
Alice semneazǎ în esentǎ orice m
Page 97 and 98:
Lecţia 12Grafuri - introducereDefi
Page 99 and 100:
Dacǎ e = (u,v), arcul e se numeste
Page 101 and 102:
Grafuri specialeDefinitia 12.10: Un
Page 103 and 104:
Operatii cu grafuriW 4subgraf al lu
Page 105 and 106:
matricea de adiacentǎ este⎡ 0 0
Page 107 and 108:
dedecabcabEle pot fi aranjate sǎ a
Page 109 and 110:
ababd c dcNumǎrul si dimensiunile
Page 111 and 112:
3 (a,c) 5d 10 (a,c)4 6a 1 8 2 z0
Page 113 and 114:
Un exemplu: Care este circuitul cel
Page 115 and 116:
Definitia 12.30: Un arbore cu rǎd
Page 117 and 118:
• Se opreste operatia când s-au
Page 119 and 120:
La începutul jocului sunt pe masǎ
Page 121 and 122:
Lecţia 13Introducere în probabili
Page 123 and 124:
7. Mâini la poker. Amestecarea urm
Page 125 and 126:
Acum se pot atribui probabilitǎti
Page 127 and 128:
o bilǎ? Este usor de calculat: se
Page 129 and 130:
Lecţia 14Probabilitǎti conditiona
Page 131 and 132:
Urmeazǎ acum alte câteva exemple
Page 133 and 134:
Cazul de bazǎ este n = 1 si coresp
Page 135 and 136:
evenimentul care produce la a doua
Page 137 and 138:
Pr[A i ] Pr[A j ] = (1/6) 2 = 1/36
Page 139 and 140:
Lecţia 15Douǎ aplicatii killerIat
Page 141 and 142:
A 1 ∩A 2 ] este probabilitatea ca
Page 143 and 144:
petrecere. Câti trebuie sǎ invita
Page 145 and 146:
Aceasta poate fi interpretatǎ astf
Page 147 and 148:
destul de bunǎ pentru k 0 . În re
Page 149 and 150:
Lecţia 16Variabile aleatoare si me
Page 151 and 152:
adicǎ numǎrul asteptat (media) de
Page 153 and 154:
numǎrul de ori în care ceva anume
Page 155 and 156:
Lecţia 17Câteva distributii impor
Page 157 and 158:
Încercǎm sǎ colectionǎm un set
Page 159 and 160:
care tinde cǎtre λ pe mǎsurǎ ce
Page 161 and 162:
Lecţia 18Dispersia unei variabile
Page 163 and 164:
problema pasilor aleatori de mai su
Page 165 and 166:
Înainte de a demonstra inegalitate
Page 167 and 168:
Lecţia 19Variabile aleatoare indep
Page 169 and 170:
mǎsurǎrii unei valori cum este p
Page 171 and 172:
Aceastǎ teoremǎ nu va fi demonstr
Page 173 and 174:
Lecţia 20Jocul Minesweeper si prob
Page 175 and 176:
Primul pas este cel al identificǎr
Page 177 and 178:
probabilistic dat mai devreme. Sing
Page 179 and 180:
Este limpede cǎ expresia aceasta e
show all

Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?