Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Teorema 3.6: Pentru orice numǎr natural n (în reprezentarea lor în calculator),rezultatul evaluǎrii expresiei (factorial n) este reprezentarea în calculator alui n!.Demonstratia cǎ programul este corect este foarte asemǎnǎtoare demonstratieicǎ functia recursivǎ are valori corecte. Despre notatii: elementele sintacticereale ale limbajului de programare sunt în alte caractere, în timp ce variabilelecare dau domeniul lor sunt înclinate.Demonstratie: Demonstratia este prin inductie pe numerele naturale. Fie P(n)propozitia (factorial n) = n!.• Cazul de bazǎ: verificarea propozitiei P(0).P(0) este propozitia (factorial 0) = 0!. Prin definitia de mai sus,(factorial 0)= (if (= 0 0) 1 (* 0 (factorial (- 0 1))))= 1 prin evaluarea lui if• Pasul inductiv: demonstratia propozitiei P(n) ⇒ P(n + 1) pentru orice n∈N.1. Ipoteza inductivǎ este (factorial n) = n!.2. De demonstrat: (factorial (n + 1)) = (n + 1)!.3. Prin definitia de mai sus,(factorial (n + 1))= (if (= (n + 1) 0) 1 (* (n + 1) (factorial (- (n + 1) 1))))= (* (n + 1) (factorial (- (n + 1) 1))) deoarece n∈ N si (n + 1) ≠0= (* (n + 1) (factorial n))= (n + 1)!Prin urmare, principiul inductiei conduce la n∈ N (factorial n) = n!.□Note asupra demonstratiei:• Se face aici apel implicit la mai multe aspecte ale evaluǎrii de programecum sunt legǎtura între parametri, definitia expresiilor if si corespondentaîntre functia matematicǎ “–“ si functia intrinsecǎ “–“. Aceste leme sunt oparte esentialǎ a definirii limbajului de programare si poate fi declaratǎ sidemonstratǎ o datǎ pentru toti si pentru totdeauna.• Teorema asa cum este enuntatǎ este aproape sigur falsǎ! O probǎ realǎ decorectitudine, pentru o teoremǎ potrivit redusǎ, trebuie sǎ manevrezediferentele între entitǎtile matematice si entitǎtile corespunzǎtoare dincalculator. De pildǎ, n! este bine definitǎ pentru orice numǎr natural, dar(factorial n) esueazǎ dacǎ n este suficient de mare pentru a producedepǎsire la multiplicarea de întregi. Un alt mod de a spune aceasta este cǎoperatorul * nu este acelasi cu functia de multiplicare matematicǎ.• Asa cum e definitǎ, functia (factorial n) produce o eroare pentru intrǎrinenumerice, neîntregi sau negative. (Exercitiu: Ce eroare apare când37