Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

expresia poate fi evaluatǎ “de-jos-în-sus” (bottom-up – de la bazǎ la vârf) ca sio expresie aritmeticǎ. De exemplu, cu asignarea {A = T, B = F}, expresia (A ∧(A ⇒ B)) ⇒ B devine[(T ∧ (T ⇒ F)) ⇒ F] = [(T ∧ F) ⇒ F] = [F ⇒ F] = TSe poate da de asemenea o definitie recursivǎ de-sus-în-jos a valorii de adevǎr aunei expresii. Fie M o atribuire si fie X M valoarea lui X corespunzǎtoare lui M.Atunci∀ X ∈ X [eval(X, M) = X M ]∀ B ∈ B [eval(¬B, M) = ¬ (eval(B, M))]∀ B , B 1 2∈ B [eval( B1 ∧ B2, M) = eval(B 1 , M) ∧ eval(B 2 , M)]etc.De observat cǎ în evaluarea de mai sus regulile utilizate în cazul operatorilorbooleeni ¬, ∧ si ceilalti, apar ca functii care opereazǎ pe valori booleene si nuca operatori logici în propozitiile definitorii.Fiind datǎ o definitie precisǎ a ceea ce expresiile semnificǎ, se poate definiacum urmǎtoarea notatie utilǎ:Definitia 6.2 (Echivalenţa logicǎ):Douǎ expresii booleene pe aceeasi multime de variabile sunt echivalente logicdacǎ si numai dacǎ ele returneazǎ aceleasi valori de adevǎr pentru oriceasignare de valori pentru variabile posibilǎ; adicǎ ele reprezintǎ aceeasi functiebooleanǎ.Pentru “echivalent logic cu” se va folosi simbolul ≡. Câteva echivalenţeevidente, toate verificabile recurgând la tabelele de adevǎr:(A ∧ B) ≡ (B ∧ A) (comutativitate)(A ∨ B) ≡ (B ∨ A) (comutativitate)((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C)) (asociativitate)((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C)) (asociativitate)(A ⇒ B) ≡ (¬A ∨ B)(A ⇔ B) ≡ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A))¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) (de Morgan)¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) (de Morgan)(A ∧ B) ≡ ¬ (¬A ∨ ¬B)(A ∨ B) ≡ ¬ (¬A ∧ ¬B)(A ∨ (B ∧ C)) ≡ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) (distributivitate)(A ∧ (B ∨ C)) ≡ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) (distributivitate)Deoarece operatiile ∧ si ∨ sunt asociative, se pot scrie expresii ca A ∧ B ∧ C siA ∨ B ∨ C – adicǎ prin omiterea parantezelor care normal ar putea fi necesare –fǎrǎ teamǎ de ambiguitǎti. Tot asa, fiind datǎ comutativitatea, aceste expresiipot fi gândite ca niste conjunctii sau disjunctii aplicate unor multimi deexpresii.Din setul de echivalente de mai sus, se poate vedea (cel putin informal) cǎ oriceexpresie booleanǎ poate fi scrisǎ utilizând numai operatorii ∧ si ¬. Se poateînlocui ⇔ cu ⇒ si ∧ . Apoi se poate înlocui ⇒ cu ∨ si ¬. Apoi se poateînlocui ∨ cu ∧ si ¬. (O argumentatie similarǎ aratǎ cǎ ∨ si ¬ sunt de asemenea55