Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Versiunea a doua a expresiei decurge din faptul cǎ aruncǎrile sunt mutualindependente. Desigur, se stie deja din lectia anterioarǎ cǎ Pr[A] = 1/8. Aicieste o confirmare a faptului cǎ acel spatiu se comportǎ cum ne asteptam.Dacǎ moneda este incorectǎ, cu probabilitatea stemei p ≠ 1/2, utilizândindependenta se obtine din nouPr[A] = Pr[A 1 ]xPr[A 2 ]xPr[A 3 ] = p 3si, în general, probabilitatea oricǎrei secvente de n aruncǎri care contine rsteme si n – r reversuri este p r (1 – p) n–r . Aceasta este ratiunea pentru care amdefinit astfel acest spatiu în lectia anterioarǎ: am definit probabilitateapunctului ca si când aruncǎrile monedei se petrec independent.2. Bile si cutii. Spatiul evenimentelor elementare este aici produsul Ω =Ω 1 xΩ 2 x…xΩ m cu Ω i = {1, 2, …, n} multimea celor n cutii care pot fi“alese” de bila i (sunt m bile si n cutii). Deoarece s-a precizat cǎ bilele suntaruncate independent, rationând ca mai devreme, trebuie sǎ avem Pr[ω] =Pr[ω 1 ]xPr[ω 2 ]x…xPr[ω m ] = (1/n) m pentru oricare punct ω al spatiului. Dinnou apare concordanta cu definitia spatiului probabilistic din lectiaanterioarǎ.Regula produsului dǎ totodatǎ un nouǎ cale de calcul al probabilitǎtilor unorevenimente. Fie A evenimentul “cutia 1 este goalǎ”. Se poate scrie m i = 1A = A cu A i evenimentul “bila i rateazǎ cutia 1”. În mod clar, Pr[A i ] =i1 – 1/n pentru orice i. De asemenea, evenimentele A i sunt mutualindependente prin însǎsi constructia spatiului. Astfel, prin regula produsuluiPr[ A]=Pr[ An−11]× Pr[ A2| A1] × ... × Pr[ An| i= 1A ] =⎛ 1 ⎞= Pr[ A1] × Pr[ A2] × ... × Pr[ An] = ⎜ 1 − ⎟⎝ n ⎠Asta se potriveste cu rǎspunsul obtinut în lectia anterioarǎ prin numǎrareapunctelor-evenimente elementare.3. Cǎrti amestecate. Fiecare punct ω din spatiul probelor poate fi vǎzut ca osecventǎ de 52 de alegeri, ω = (ω 1 , ω 2 , …, ω 52 ), unde ω i este cartea i dinpachet. Mai întâi se ia cartea ω 1 din 52, apoi cartea ω 2 din 51, apoi ω 3 din 50si tot asa (nu putem pune aici Ω = Ω 1 xΩ 2 x…xΩ 52 deoarece spatiul Ω idepinde de (ω 1 , ω 2 , …, ω i–1 ), de pildǎ Ω 2 depinde de ω 1 ). Probabilitatea de aalege un ω 1 este clar 1/52; cu ω 1 stabilit, probabilitatea de a alege un ω 2 esteuniformǎ, 1/51; cu ω 1 si ω 2 alese, probabilitatea la alegerea lui ω 3 este 1/50s.a.m.d. Aceste probabilitǎti conditionate cu regula produsului conduc laPr[ω] = Pr[ω 1 ]xPr[ω 2 |ω 1 ]x…xPr[ω 52 |ω 1 , ω 2 , …, ω 51 ] = 1/52!adicǎ la produsul fractiilor 1/52, 1/51, …, 1/2, 1/1. Se verificǎ ceea ce s-astabilit în lectia anterioarǎ prin numǎrarea permutǎrilor.Fie A evenimentul “cartea de deasupra este un as”. Vedem imediat cǎ laprima alegere a lui ω 1 , Pr[A] = 4/52 = 1/13. Dacǎ B este evenimentul“primele douǎ cǎrti sunt de aceeasi culoare” atunci putem considera pe B cami134