Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

o bilǎ? Este usor de calculat: se pune A contrarul (complementul) lui A,adicǎ evenimentul “în prima cutie cade cel putin o bilǎ” si contine exactceea ce nu contine A. Asadar, Pr[ A ] = 1 − Pr[ A]≈ 0, 88 . Mai general, dacǎ searuncǎ m bile în n cutii⎛ n − 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞Pr[“prima cutie rǎmâne goalǎ”] = ⎜ ⎟ = ⎜ 1 − ⎟⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠11. Problema Monty Hall. Revenim la aceastǎ problemǎ si la intentia de ainvestiga meritul relativ al schimbǎrii sau mentinerii strategiei dupǎdeschiderea unei usi. Sǎ admitem cǎ decizia concurentului este de a schimbaalegerea de usǎ. Evenimentul A care intereseazǎ este cel care-l face peconcurent câstigǎtor. Care puncte (i, j, k) sunt în A? Deoarece concurentulschimbǎ usa, alegerea sa initialǎ j nu poate fi egalǎ cu usa premiului, careeste i. Si toate rezultatele de acest tip corespund câstigului deoarece Montytrebuie sǎ deschidǎ a doua usǎ fǎrǎ premiu, lǎsând concurentul sǎ comute lausa cu premiul. Astfel, A constǎ în toate rezultatele de primul tip conformanalizei fǎcute mai devreme; sunt sase astfel de rezultate, fiecare cuprobabilitatea de 1/9. Asadar, Pr[A] = 6/9 = 2/3, adicǎ concurentul câstigǎcu probabilitatea 2/3! Ar trebui sǎ fie intuitiv clar (si usor de verificatformal – a se încerca!) cǎ sub strategia non-comutǎrii probabilitatea de acâstiga este 1/3 (în cazul acesta, concurentul alege realmente aleator numaio usa). Astfel, prin comutare, concurentul îsi mǎreste considerabil sansa dea câstiga.Este unul din exemplele care ilustreazǎ cât de important este a calculasistematic probabilitǎti si nu “intuitiv”.Recapitulǎm pasii din calculele noastre:• Care este spatiul probelor (experimentul si posibilele lui rezultate)?• Care este probabilitatea fiecǎrui rezultat (fiecǎrui eveniment atomic)?• Care este evenimentul care intereseazǎ (care submultime a spatiuluievenimentelor elementare)?• Calculul probabilitǎtii evenimentului prin adunarea de probabilitǎti aleevenimentelor elementare componente.Ori de câte ori apare o problemǎ de probabilitǎti, trebuie mers înapoi la acesteelemente fundamentale pentru a evita orice capcanǎ. Chiar si cei maiexperimentati cercetǎtori pot gresi când uitǎ acest parcurs, marturie stau multele“demonstratii” eronate emise de matematicieni cǎtre ziarele vremii, conformcǎrora strategia schimbǎrii în problema Monty Hall nu ar îmbunǎtǎti sansele decâstig.mm127